求最大子列和

給定\(N\)個整數的序列\({A_1,A_2,\cdots,A_N}\)，求函式\(f(i,j)=\max{\{0,\sum_{k=i}^jA_k\}}\)

演算法一

int MaxSubseqSum1(int A[], int N) {/*三重巢狀迴圈，時間複雜度是O(N^3)*/
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < N; i++) {/* i是子列左端位置*/
        for (j = i; j < N; j++) {/*j是子列右端位置*/
            ThisSum = 0; /*ThisSum是A[i]到A[j]的子列和*/
            for (k = i; k <= j; k++)
                ThisSum += A[k];
            if (ThisSum > MaxSum) /*如果剛得到的這個子列和更大*/
                MaxSum = ThisSum; /*則更新結果*/
        }
    }
    return MaxSum;
}
 

演算法二

int MaxSubseqSum2(int A[], int N) {/*二重巢狀迴圈，時間複雜度是O(N^2)*/
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i, j;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        ThisSum = 0;
        for (j = i; j < N; j++) {
            ThisSum += A[j]; /*對於相同的i，不同的j，只要在j-1次迴圈的基礎上累加1項即可*/
            if (ThisSum > MaxSum)
                MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}
 

演算法三

int Max(int a,int b,int c){
    return a>b?(a>c?a:c):(b>c?b:c);
}
int MaxSubseqSum3(int A[],int left,int right){//分而治之法，時間複雜度為O(NlogN)
    int MaxLeftSum,MaxRightSum;//存放左右子問題的最大和
    int MaxLeftBorderSum,MaxRightBorderSum;//存放跨分界線的最大和
    int LeftBorderSum,RightBorderSum;//存放跨分界的子列和
    int center,i;//存放left和right的中線
    if(left==right){
        //當子列中只有一個數時停止遞迴
        if(A[left]>0)
            return A[left];
        else
            return 0;
    }
    //分而治之之一“分”
    center=(left+right)/2 ;//求left和right的中線
    //遞迴返回兩邊的子列最大和
    MaxLeftSum=MaxSubseqSum3(A,left,center);
    MaxRightSum=MaxSubseqSum3(A,center,right);
    //求跨分界線的最大子列和
    MaxLeftBorderSum=0;
    MaxRightBorderSum=0;
    for(i=center;i>=left;i--){
        //從中線向左掃描
        LeftBorderSum+=A[i];
        if(LeftBorderSum>MaxLeftBorderSum)
            MaxLeftBorderSum=LeftBorderSum;
    }
    MaxRightBorderSum=0;
    RightBorderSum=0;
    for(i=center+1;i<=right;i++){
        //從中線向右掃描
        RightBorderSum+=A[i];
        if(RightBorderSum>MaxRightBorderSum)
            MaxRightBorderSum=RightBorderSum;
    }
    return Max(MaxLeftSum,MaxRightSum,MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum);
}
 

遞迴演算法：

\(O(N)=O(\frac N2)+O(\frac N2)+cN=2O(\frac N2)+cN\\=2^kO(1)+ckN\)

其中\(N/2^k=1\)，所以\(2^k=N\)，\(k=\log_2{N}\)，所以\(O(N)=NO(1)+cN\log_2N=O(N\log N)\)

演算法四

int MaxSubseqSum4(int A[], int N) {//線上處理,時間複雜度為O(N)
    /*
     * “線上”的意思是指每輸入一個數據就進行及時處理，在任何一個地方中止輸入，演算法都能正確給出當前的解
     */
    int ThisSum, MaxSum;
    int i;
    ThisSum = MaxSum = 0;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        ThisSum += A[i];//向右累加
        if (ThisSum > MaxSum) //發現更大和則更新當前結果
            MaxSum = ThisSum;
        else if (ThisSum < 0) //如果當前子列和為負數
            ThisSum = 0; //則後面加上負數不可能是最大，所以拋棄該子列和
    }
    return MaxSum;
}