C語言程式碼：

int MaxSubsequenceSum(const int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum, j;
    
    ThisSum = MaxSum = 0;
    for (j = 0; j < N; j++)
    {
        ThisSum += A[j];
        
        if (ThisSum > MaxSum)
            MaxSum = ThisSum;
        else if (ThisSum < 0)
            ThisSum = 0;
    }
    return MaxSum;
}
 

求證：這個演算法的正確性，即能夠求出最後的正確的最大子序列和。

證明：

我們可以取一個通常的待求最大自序列和的數列：

\(a_1,a_2,a_3...a_{p-1},a_p,a_{p+1}...a_n\)

這個數列一共有n項，我們可以先排除\(a_1\)為負數的情況，因為這回被自動地歸零處理。

然後我們設\(a_p\)為這個序列的第一個斷點，就是\(a_p\)之氣的所有項之和ThisSum都沒有因為序列和變成負數而歸零重置過，然後我們將要證的命題進行轉化-->我們知道\(a_1\)和\(a_p\)這兩個數是可以排除作為新的子序列的起點的，所以，我們只需要證明：

• 在\(a_2\)到\(a_{p-1}\)
  (包括邊界，下同)之間不可能存在有子序列的和比從\(a1\)到\(a_{p-1}\)之間按照演算法取出來的子序列和最大值要大；
• 在\(a_1\)和\(a_{p-1}\)之間不會存在一個數\(a_x\)，使\(a_x\)到\(a_p\)之間所有數之和為非負數。

下面我們就用反證法來證明這兩點的正確性：

首先，我們要明確一個前提，就是從\(a_1\)到\(a_{p-1}\)之間任何一個以\(a_1\)為起點的子序列的和都是非負數。

1. 對於第一點，我們假設存在一個符合條件的子序列，其起點為\(a_x, 1 < x < p - 1\)，其所包含的所有數之和比從\(a1\)到\(a_{p-1}\)
   之間按照演算法取出來的子序列和最大值要大。然後，根據我們的前提，我們知道索引x之前的一直到起點的子序列和一定是非負的，所以我們假設的那個子序列就還可以變得更大，如果加上所有前面的數的話，可是，這就與假設的序列和比從\(a1\)到\(a_{p-1}\)之間按照演算法取出來的子序列和最大值要大這一條件相矛盾了，故，假設不成立。
2. 對於第二點，我們假設在\(a_1\)和\(a_{p-1}\)之間存在一個數\(a_x\)，使\(a_x\)到\(a_p\)之間所有數之和為非負數，那麼根據前提，我們加上\(a_x\)前面的所有的數，結果還是為非負的，可是，由於\(a_p\)是斷點，即ThisSum < 0，然而根據假設卻得出相反的結論，所以假設不成立。

由此，該待證命題的正確性得證。

感謝我的同學萬某，是他與我一起完善了這個證明的證法。