AC 自動機

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自動機

OI 中「自動機」一般指「確定性有限狀態自動機」（deterministic finite automaton，DFA）

基本定義

DFA 一般是識別字符串，一個自動機 \(A\)，若他能識別字符串 \(S\)，則 \(A(S)=1\)，否則 \(A(S)=0\) .

然後這個識別咋定義呢？當一個自動機讀入一個字串時，從初始狀態（根節點）起按照轉移函式一個一個字元地轉移 . 如果讀入完一個字串的所有字元後位於一個接受狀態，那麼我們稱這個自動機 接受 這個字串，反之我們稱這個自動機 不接受 這個字串 .（這個接受其實就是識別吧）

形式化定義

其實弄懂了基本定義，形式化定義就很明瞭了 .

一個 DFA 由如下五個東西

• 狀態集合 \(Q\) .
• 字符集 \(\Sigma\) .
• 狀態轉移函式 \(\sigma : Q\times \Sigma\to Q\) .
• 一個開始狀態 \(s\in Q\)（即根節點）
• 接收狀態集合 \(F\subseteq Q\) .

組成的五元組 \((Q,\Sigma,\sigma,s,F)\) .

常見自動機

• Trie：轉移函式就是 Trie 上一條邊，其能接受的字串就是插入到 Trie 中的字串（或者其字首，這取決於怎麼定義接受）
• 子序列自動機：能接受的字串是給定字串的所有子序列，轉移函式 \(trans(x, c)\)
  是在字元 \(c\) 對應的 \(\texttt{vector}\) 裡 \(\texttt{upper_bound}(x)\) 得到的返回值 . 每個節點都可以看作接受狀態 .
• KMP 自動機：由 \(s\) 構造 的自動機能接受的字串是以 \(s\) 為子串的串 \(t\)，轉移函式就是不斷跳 next 的過程（形式化的，here）

然後就是我們現在要說的 AC 自動機，還有比較牛逼的（廣義）字尾自動機（SAM），迴文自動機（PAM）啥的，然而我不會啊 qwq

Reference

• skyh 神仙的課件《字串演算法基礎》
• 自動機 - OI Wiki
• AC 自動機 - OI Wiki

以下是部落格簽名，正文無關

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