LGP2490口胡
阿新 • • 發佈：2022-03-03
有點兒神祕？
根據他這個題意說的，白子向右的第一個一定是對應的黑子啊。
所以棋子的絕對位置是不重要的，我們只需要考慮白子和黑子的相對位置，然後考慮用 GF 來拼湊狀態就好了。
下面的 \(k\) 是題面中的 \(\frac{k}{2}\)。
這是一個 k-nim。\(k\) 堆石頭每次最多選 \(d\) 堆。
先丟結論：設 \(x_i\) 為 \(x\) 在二進位制下的第 \(i\) 位，那麼先手必敗的條件一定滿足對於任意 \(i\) 有 \(\sum_{j=1}^k(x_j)_i \bmod(d+1)=0\)。
證明不會（
根據這個我們就可以考慮 GF 了！！！！！！
我們設單塊（一對黑白子）的 GF 為 \(F(x,y)\)
我們知道有 \(n-2k\) 個位置是空的，空格被黑白子分成了 \(k+2\) 段，那麼我們再設一個：
\[G(x)=\sum_{i=0}x^i=\frac{1}{1-x} \]我們有：
\[H(x,y)=G^{k+2}(x)F^k(x,y) \]答案是
\[[x^n]\sum_{d+1|k_i}[\prod y_i^{k_i}]H(x,y) \]雖然看上去很奇怪，但是我們成功寫成了 GF 的形式
我們先考慮 \(F^k\) 是個什麼鬼東西：
\[x^{2k}\prod_{i=0}(x^{2^i}y_j+1)^k \]