前言

上週我們數學老師給了我們一道題，大意就是兩個向量a和b，一個點M=$x*a+y*b$，x,y有範圍，然後所有M組成的面積是一個定值，求x+y的最小值。當然這是道小水題，但我在想，如果把兩個向量變成多個向量，二維變成高維的話，那會怎麼樣呢。

分析

眾所周知，兩個二維向量可圍成平行四邊形。如果再多一個就相當於將該平行四邊形沿該向量平移，如下圖，總面積就相當於如圖藍色框出的面積（即平移時掃過的體積）。

它可以分解成下圖三個平行四邊形

所以$S=a \times b +a \times c +b \times c$(注意這裡為了方便向量不標箭頭)

如果再加一個向量，就相當於將該圖形整體平移

易得：對於m個二維向量，圍成的面積

$$S=\sum_{a,b是1到m的一個組合} a \times b$$

進一步，將二維擴充套件為三維，對於三個三維向量圍成的平行四邊形體，此時再加一個向量，就相當於將該幾何體平移，求整個幾何體掃過的體積。

經過我畫圖驗證可得總體積

$$V=\sum_{a,b,c是1到m的一個組合} (a \times b) \cdot c$$

更進一步，擴充套件到n維，此時它的體積（我也不知道高維下的空間大小叫什麼，就先沿用體積好了）就難以用點積和叉積表示了，我們用$f(a_1,a_2,...,a_n)$表示n個n維向量圍成的體積，則：

$$V=\sum_{i,j,k,...是1到m的一個組合} f(a_i,a_j,a_k,...)$$

$f(a_i)$可以用行列式來求解，即：

設m個n維向量分別表示為$v_i=(a_{i,1},...,a_{i,n})$

$f(a_1,a_2,...,a_n)=det(A)$

如此一來，我們就得到了多個n維向量圍成的n維體積的大小的計算公式