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題目傳送門

題目描述

有 NN 組物品和一個容量是 VV 的揹包。

每組物品有若干個，同一組內的物品最多隻能選一個。
每件物品的體積是 vijvij，價值是 wijwij，其中 ii 是組號，jj 是組內編號。

求解將哪些物品裝入揹包，可使物品總體積不超過揹包容量，且總價值最大。

輸出最大價值。

輸入格式

第一行有兩個整數 N，VN，V，用空格隔開，分別表示物品組數和揹包容量。

接下來有 NN 組資料：

• 每組資料第一行有一個整數 SiSi，表示第 ii 個物品組的物品數量；
• 每組資料接下來有 SiSi 行，每行有兩個整數 vij,wijvij,wij，用空格隔開，分別表示第 ii 個物品組的第 jj 個物品的體積和價值；

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

資料範圍

0<N,V≤1000<N,V≤100
0<Si≤1000<Si≤100
0<vij,wij≤1000<vij,wij≤100

輸入樣例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

輸出樣例：

8

分組揹包問題

分析

每組的物品選一個，那麼需要列舉每個組，以及每個組內的物品，對這個物品選或者不選

程式碼

用二維f[i][j]表示前i組容量為j的情況下最大值

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N]; // v[i][j] 表示第i組第j個物品
int s[N];

int f[N][N]; // f[i][j] 表示前i組物品，容量為j的情況下的最大值

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        
        scanf("%d", &s[i]);
        
        for(int j = 1; j <= s[i]; j++)
        {
            scanf("%d%d", &v[i][j], &w[i][j]);
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j]; // 不選第i組的物品
            for(int k = 1; k <= s[i]; k++)
            {
                if(j >= v[i][k]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    cout << f[n][m];
    return 0;
    
}
 

一維優化（和01揹包類似，體積從大到小列舉）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N]; // v[i][j] 表示第i組第j個物品
int s[N];

int f[N]; // f[i][j] 表示前i組物品，容量為j的情況下的最大值

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        
        scanf("%d", &s[i]);
        
        for(int j = 1; j <= s[i]; j++)
        {
            scanf("%d%d", &v[i][j], &w[i][j]);
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = m; j >= 0; j--) // 注意體積從大到小列舉
        {
            for(int k = 1; k <= s[i]; k++)
            {
                if(j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j], f[j-v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    cout << f[m];
    return 0;
    
}
 

時間複雜度

參考文章

https://www.acwing.com/solution/content/8981/