有 N 種物品和一個容量是 V 的揹包。

第 i 種物品最多有 si 件，每件體積是 vi，價值是 wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可使物品體積總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
輸出最大價值。

輸入格式

第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品種數和揹包容積。

接下來有 N 行，每行三個整數 vi,wi,si，用空格隔開，分別表示第 i 種物品的體積、價值和數量。

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

資料範圍

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

提示：

本題考查多重揹包的二進位制優化方法。

輸入樣例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
 

輸出樣例：

10

方法一：

與上一題的多重揹包問題題幹相同，資料增加了一個數量級，說明要進行優化，否則會TLE。這裡的做法是轉化成01揹包問題

對於同一類物品，只要能列舉出其[0, si]中的所有情況就可以了。假如轉化為樸素01揹包（在說了要用01揹包來做之後，這個分法是最直接能想到的），做法是同類物品拆成多個，例如s=10，分成1 1 1 1 1 1 1 1 1 1，通過其選與不選來表示出[0, si]中的所有情況，但此時複雜度為O(n * v * s)，複雜度數量級達到10⁹。考慮二進位制表示的方式，即用log(s)位數，就可以表示出[0, si]內任何數，例如s=10，只需要將物品分成1 2 4 3，通過對這幾份物品進行選與不選，就可以表示出[0, 10]內的所有數字，再例如s=20，可以分成1 2 4 8 5。因此二進位制表示的方式將複雜度優化為O(n * v * log(s))

值得學習的地方在於這種二進位制表示法，本質上可以用其它分法，只要能表示出[0, s]即可，但這種分法符合直覺，並且log的複雜度也會很低

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;


typedef pair<int, int> PII;
const int N = 2010;
int n, v, f[N];
vector<PII> obj;

// 轉化為樸素01揹包：同種多件物品拆解成1 1 1 1...，複雜度O(N)
// 轉化為二進位制01揹包：同種多件物品拆解成1 2 4... 餘數，複雜度O(logN)

// 本質都是01揹包，但拆解的方法可以表示[0, si]內的所有數字即可
// by yxc

int main() {
    int a, b, s;

    scanf("%d%d", &n ,&v);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &s);
        for (int j = 1; j <= s; j *= 2) {
            s -= j;
            obj.emplace_back(a*j, b*j);
        }
        if (s) obj.emplace_back(a*s, b*s);
    }

    for (auto o : obj) {
        for (int i = v; i >= o.first; i--) {
            f[i] = max(f[i], o.second + f[i-o.first]);
        }
    }

    printf("%d", f[v]);
}