東拼拼，西湊湊，不就又水出一篇部落格嗎？

例 1. \(\text{UVA12125 March of the Penguins}\)

首先可以想到在 \([1,n]\) 列舉匯點，檢驗最大流是否為企鵝總數。

每個點初始的企鵝數可以由 \(S\rightarrow i\) 的邊表示，那跳出的企鵝呢？因為跳到哪個冰塊是未知的，所以不妨將 \(i\) 拆成兩個點 —— 在入點與出點之間連邊權為跳出企鵝數的邊。

例 2. \(\text{UVA11082 Matrix Decompressing}\)

這個建圖真的好妙啊！假設每一行、列的數字和分別為 \(r_i,c_i\)，將行、列抽象成點，構造邊 \(\langle S,i,r_i-m \rangle\)

之所以將權值減一是因為網路流跑出的容量包含零，將區間變成 \([0,19]\)，再加一就可以復原。最後如果最大流滿流就是有解的。

例 3. 圈地計劃

不在同一部分是不好判斷的，我們將網格圖黑白染色，將黑格的商業區看作白格的工業區，這樣就轉化成了同一部分的問題！

對於兩個相鄰的點，連權值為 \(c_{i,j}+c_{i+1,j}\) 的 雙向邊，\(\text{sum}\) 只增加 \(c_{i,j}+c_{i+1,j}\)。這是因為這條雙向邊不可能同時刪除所有方向。程式碼：\(\rm Link.\)

另外還有一種複雜度較高的做法：黑白染色之後，對每兩個相鄰的點建兩個虛點 \(g_1,g_2\)，表示同時在左部/右部，分別連 \(\langle S,g_1 \rangle\)、\(\langle g_2,T\rangle\)，再以 \(\text{infty}\) 的權值連線虛點和相鄰點。因為枚舉了在哪一部，所以複雜度提高。

例 4. 「雅禮集訓 2017 Day8」價

先說一下建圖：

• 從源點向藥 \(i\) 連線權值為 \(\text{infty}-w_i\) 的邊。
• 從藥向對應的藥材連權值為 \(\text{infty}\) 的邊。
• 從藥材向匯點連權值為 \(\text{infty}\)
  的邊。

跑一遍最小割，答案就是最小割減去源點連出邊的權值。

要想理解這個模型，首先得明確幾個性質：

• 最小割不可能割去藥與藥材之間的邊。因為一種藥至少對應一種藥材，所以割這條邊一定不如割掉藥材與匯點連邊優。
• 割掉源點與藥的連邊相當於不選此藥；割掉匯點與藥材的連邊相當於選擇此藥材。第一個比較好理解，對於第二個，考慮求最小割的過程：若藥邊未割（即選擇藥），那麼藥材必須割；若割，則藥材可以不割。
• 一定只會割 \(n\) 條邊。所有邊都帶 \(\text{infty}\)，多選一條邊一定不優。
• 藥和藥材數相等。考慮上一條，即 —— 不選的藥與選擇的藥材之和為 \(n\)，而不選的藥與選擇的藥之和也為 \(n\)！所以結論得證。

最後考慮一下為什麼定義 "割掉源點與藥的連邊相當於不選此藥" 這樣鬼畜的狀態。如果我們將源點與藥的連邊權值改成 \(\text{infty}+w_i\)，即 "割掉源點與藥的連邊相當於選擇此藥"，此時藥材邊可以不割，但實際上我們需要必須不割！

總結：網路流建圖時可以設計狀態描述 "必須" 與 "可以"。

例 5. \(\text{UVA10735 Euler Circuit}\)

由於有向圖存在歐拉回路當且僅當圖連通且所有點的入度等於出度。考慮先將無向邊定向，然後分配度數。

令 \(d'_i=\) 出度 \(-\) 入度，那麼若 \(d'_i\) 為奇數則無解，否則令 \(d_i=d'_i/2\)。對於無向邊 \(\langle u,v \rangle\)，若給它定向 \(u\rightarrow v\)，就在網路中連一條 \(u\rightarrow v\)，容量為 \(1\) 的邊，表示 \(u\) 可以貢獻一個 "度" 給 \(v\)。

對於 \(d_i>0\) 的點，從源點連容量為 \(d_i\) 的邊；反之，向匯點連 \(-d_i\) 的邊。這樣最後檢驗從源點流出的邊是否滿流即可（檢驗匯點也可）。

跑一遍網路流後，當一條邊的殘餘容量為零時，就說明反向。輸出的時候記得將邊反向遍歷，就像這樣：

void Print(int u) {
    while(!E[u].empty()) {
        int v=E[u].back(); E[u].pop_back();
        Print(v); printf(" %d",u);  
    }
}

例 6. \(\text{[JSOI 2009]}\) 遊戲

首先一個比較經典的轉化是按座標之和的奇偶性將格點分成兩部，這樣 \(\text{Alice}\) 和 \(\text{Bob}\) 就只能分別走某一部。

可以證明，當 \(\text{Alice}\) 從一個 不一定 屬於最大匹配的點出發，\(\text{Alice}\) 有必勝策略 —— 先假設這個點不屬於某個最大匹配 \(G\)，此時 \(\text{Bob}\) 一定 只能 走到一個屬於 \(G\) 的點，現在 \(\text{Alice}\) 可以選擇走到與當前點匹配的點，下一步，\(\text{Bob}\) 可以走哪些點呢？

看似可以走不屬於 \(G\) 的點，但事實上，如果存在這種點，我們就成功找到了一條增廣路！這並不符合 \(G\) 是最大匹配的條件。於是 \(\text{Bob}\) 只能走屬於 \(G\) 的點，\(\text{Alice}\) 沿用之前的策略，就可以達到必勝的效果。

於是問題轉化為，如何求得不一定屬於最大匹配的點。最 \(\text{naive}\) 的思路是刪去一個點再求最大匹配，不過難道就沒有更高效的做法嗎？

事實上，先用 \(\text{Dinic}\) 求出一個最大匹配，從一個非匹配點出發，如果到達與自己 同部 的點，那麼這些點都是非匹配點。這實際上是 "非匹配 - 匹配 - 非匹配 ..." 的過程，將匹配反向就可以使同部的點狀態取反。

具體實現：

• 從源點出發沿 未滿流 的邊走，回到 \(S\) 部。
• 從匯點出發沿 滿流 的邊走，回到 \(T\) 部。

注意特判走到源/匯的情況。

例 7. \(\text{[SDOI 2016] }\)數字配對

考慮網路流。思考如何判斷數字配對的條件 —— 樸素顯然是 \(\mathcal O(n^2\sqrt V)\) 的，難以接受。

試圖將質因數分解從二層迴圈拋到外面去：其實可以發現，配對條件滿足當且僅當存在整除關係且質因數個數和相差為 \(1\)。這個問題就解決了。

如何連邊？通過上文不難發現這是一張二分圖，按質因數個數的奇偶性分類。於是要求最大化配對就變成了最大流。由於需要保證獲得的價值總和不小於 \(0\)，我們優先選擇費用更大的，也即 "最大費用最大流"。這個可以用 \(\text{spfa}\) 來解決。