最小割&網路流應用

阿新 • • 發佈：2020-07-21

重要連結

zzz大佬部落格連結：網路流學習筆記

lyd神犇課件連結：網路流模型設計lyd（提取碼：m5sd）

國家集訓隊2007胡伯濤論文：演算法合集之《最小割模型在資訊學競賽中的應用》

最詳細（也可能現在不是了）網路流建模基礎

對於網路流的基礎部分以及其在二分圖方面的應用，詳見上面的第一個連結。

先 Copy 下重點：

最小割

最大流等於最小割。

如何找到最小割的割邊？

從S開始沿著殘量網路BFS，把能到達的點標記上。
連線已標記的點和未標記的點的正向邊

為該網路的一個最小割集。（-by lyd大佬）

如何找最小割的必須邊？

從S開始BFS跑殘量網路。
從T開始反向BFS跑殘量網路。
列舉從S指向T的滿流邊，這些邊即為必須邊

如何找某種情況的最小割的可行邊？

滿流
刪掉後找不到u -> v的路徑

於是：殘餘網路中tarjan跑SCC, (u, v)的u, v都在同一SCC中說明存在殘量網路u -> v的路徑 -by lyd大佬

網路流常用思想：點邊轉化思想

拆點：

把點拆成入點和出點，兩點間邊權為點權。或者拆成有兩個特殊含義的點。

拆邊：

對於邊權比較複雜的問題（比如和第幾種情況、之前選用該點次數等有關，但不管怎樣都會選最小的情況作為代價），把所有情況分解成某幾條邊上的權值和。（類似於二進位制拆分多重揹包？）

如: #6068. 「2017 山東一輪集訓 Day4」棋盤；還有P4307 [JSOI2009]球隊收益 / 球隊預算

注意！

dinic的弧優化記得加，記得初始化！！別忘了s、t的初始化！！+1
一定要連反向邊！！！！！
費用流注意一下 \(vis\) 的適用情況

以上為開頭連結部分內容。

以下為正文。

Part 1

網路流模型設計lyd（提取碼：m5sd）

（從第八頁開始，前七頁在前面有說過）

動態加點

例題：P2050 [NOI2012]美食節

題意： n 個菜，每個菜有 \(p_i\) 個人（互不相同）選； \(m\) 位廚師， \(j\) 廚師做 \(i\) 菜的時間為 \(t_{i, j}\)

。求最小等待總時間。

\(n <= 40; m <= 100; \sum p <= 800\)

建議先做一下簡化版：P2053 [SCOI2007]修車

利用費用提前計算等思想，我們發現 \(j\) 廚師對答案的貢獻是： \(\sum{i * t[x_i][j]}\)，其中 \(x_i\) 為交付給 \(j\) 廚師的第 \(i\) 個人選擇的菜。

然後我們的思路是把每個廚師拆成 \(\sum p_i\) 個點，代表每個廚師要做的（倒數）第 \(i\) 個菜的相關費用。（這樣費用便於計算），然後再搞一搞，用最小費用最大流跑一跑。

然後複雜度會炸掉。

我們發現肯定不會每個廚師都做 \(\sum p_i\) 道菜，直觀的想法是，誰做菜快（受到眾人的青睞）就多給他一些機會。

具體來說，就是動態加點。先按照最小費用（第一次的最短路）跑他一跑，發現誰備受青睞（都選他，即他連向匯點的邊都滿流），就給他再開一個做飯的位置，給他多做一道菜的機會。然後重複。最後一直跑到最大流為 \(\sum p_i\) 為止（所有菜都做完了）。

\(Code:\)my record

平面圖與對偶圖

經典例題： P4001 [ICPC-Beijing 2006]狼抓兔子

平面圖：

一張無向網路，能夠在一張紙上畫出來，並且邊不交叉。

網格圖是特殊的平面圖。

一張平面圖的對偶圖

將平面圖在紙上畫出來，並且將源點與匯點用另外一條邊相連。發現一張紙被平面圖的邊分成了好幾部分。將這幾部分用帶編號的點來表示，原圖的邊（不含後來加的源點到匯點的邊）轉化成其兩側的區域點的連邊。

平面圖的最小割等於其對偶圖的最短路

跑從對偶圖中的 \(S'\) -> \(T'\)的路徑，發現每條路徑都將原網路分割成兩部分（即源匯分開），是一種割。因此平面圖的最小割 = 對偶圖的最短路。

這樣，\(O(n^2m)\)（假）就有望優化成 \(O(nlogn)\)（\(dijkstra\))。

\(Code:\)my record

加強 : 有向網格圖的平面圖與對偶圖

例題：P2046 [NOI2010]海拔

這回我們每條邊有了兩個不同的權值。其實和之前差不多，只不過當時我們理直氣壯地把每條邊直接當作兩條邊處理，這回我們要區別這兩條邊了。

通過畫圖可知，對於網格圖的對偶圖來說，（原圖中）從坐上走到右下的最小割，就相當於（對偶圖中）從坐下走到右上。那麼我們直接把所有（原圖的）邊都逆時針旋轉 \(90\) °，就是對偶圖上的邊。

具體來說，原圖中的每條邊，就相當於（對偶圖中）從它的右側穿越到它的左側。據此建圖即可。

如果有些邊根本就沒有呢？那麼就說明這些邊不用花費任何代價就可以被割斷，設定一些流量為0 的邊即可。

拓展：給出平面圖，求對偶圖

給出平面圖上的一些點的座標，還有連線其中某些點的邊（含邊權），求其對偶圖。

關鍵在於求出所有小區域，需要高超的計算幾何技巧。

（直接Copy）

原圖中的每條線段看做雙向向量。
• ① 任選一條未被標記的向量u→v。
• ② 找到與向量v→u逆(或順)時針方向夾角最小的向量v→w。
• ③ 如果v→w已被標記，轉到④；否則將它標記，令v=w, u=v，重複②。
• ④ 重複①~③，直至所有向量都被標記。
• 每次到達④，都會找到一個區域。通過記錄每個區域的邊，計算它的面
積正負，可以判斷它是內部區域，還是外部的無限大區域。


• 如何求與向量v→u逆時針方向夾角最小的向量？
• 兩種需要更新答案v→p的情況：
• v→p在v→u的順時針方向（vu × vp<0）
並且v→w在v→u的逆時針方向（vu × vw>0）
• v→p和v→w在v→u同側
並且v→w在v→p的順時針方向（vp × vw<0）

例題：

#2965. 保護古蹟

點被圍起來 = 點不與最外面聯通

因此建立對偶圖，暴力列舉點集，求最小割。

多源點最小割？超級源點！

#2960. 跨平面

建對偶圖 + （無根）最小樹形圖。

不錯的計算幾何題。

最大權閉合子圖

一張有向無環圖，點有點權（可能為負），對於邊 \((u, v)\)，如果選擇 \(u\) ，就必須選擇 \(v\)。求所選的點的最大權值和。

方法

對於所有點權為正的點 \(u\)，我們連\((s, u, val[u])\)；對於點權為負的點 \(v\)，我們連 \((v, t, -val[v])\)；對於邊 \((u, v)\)，我們連 \((u, v, inf)\)。求最小割，正點權和減去最小割即為答案。

對於環，需要特殊處理（如縮點等等）。

理解與證明

首先我們先選上所有正點權。為了滿足邊的要求，我們要選擇一些負點權，或者拋棄一些正點權。

建好圖後，如果我們割掉正點和 \(S\) 之間的邊，而把正點權歸為 \(T\) 那邊，則說明我們放棄了正點；如果我們割掉負點和 \(T\) 之間的邊，而把負點歸到 \(S\) 那邊，說明我們要選擇這個負點。

因此，方案為：從 \(S\) 開始 \(dfs\)，標記能經過的點。這些能經過的點即為我們選擇的點。

最大密度子圖

一張無向圖，點有點權，邊有邊權。選出其中的一個子圖，使得點權之和與邊權之和的比值最小（即邊權和與點權和的比值最大）。輸出點權之和與邊權之和的比值。

前置技能：01分數規劃

二分點權與邊權的比值為 \(d\)。那麼我們的任務是最小化 \(\sum_{p}val_p - d * \sum_eval_e\)，檢視是否為正。

如果我們把每條邊看作一個點，那麼我們選擇這條邊就要獲得 \(- d * val_e\) 的代價（點權）；選擇一個（原圖）點，就要獲得 \(val_p\) 的代價（點權）。並且要求選擇邊就一定要選擇邊兩邊的點。

然後成功轉化為最大（小）權閉合子圖的問題。

複雜度：約\(O((n + m)^3)\)。

演算法改進

我們希望儘量少的讓複雜度與 \(m\) 相關。

考慮二分後最後選出的那個子圖（子圖上的點記作黑點），如果我們知道子圖的點是哪些，那麼我們一定會選出黑點與黑點相連的所有邊。這些邊與子圖上的點稱之為誘導子圖。答案為：

\[ans = \sum{val_p} - d * \sum{val_e} \]

\[= \sum_p{val_p} - \frac{d}{2} * ({\sum_{(p, q), p~is~black}{val_{p, q}}} - \sum_{(p, q), p~is~black, q~is~wight}val_{p, q}) \]

其中中間的那個求和式我們可以預處理出來，成為與點權有關的式子，記之為 \(sum[p]\)；最右面的那個求和式即為最小割。

我們將所有點與 \(S\) 連邊\((S, p, val[p] - d / 2 * sum[p])\)，(原圖中的）邊連為雙向邊 \((u, v, 1 / 2 * val_{u, v})\)，然後求最小割得:\(mincut\)

至於如何處理負數流量，以及如何處理分數，下面“最小割二元關係新解”部分會有講解。

答案即為 \(mincut\)。

方案：某點如果與 \(S\) 的連邊為割邊，則該點被選。

Continued...

混合圖歐拉回路

一張圖中既有無向邊，也有有向邊，求是否有經過每條邊恰好一次的迴路。

（無向圖歐拉回路、有向圖歐拉回路可以通過度數（或入度、出度關係)來直接判斷。）

混合圖歐拉回路可以變成：是否存在一種無向邊定向方案，使得每個點的入度等於出度。

如果我們先把無向圖隨意定向，那麼會出現某些點入度出度不等的情況。（當然，如果某個點的出入度之和為奇數，則一定無方案）但是，我們可以通過對一些無向邊的方向進行反悔，來修改每個點的出入度關係。

一條無向邊被定為(u -> v)，它有機會改成(v -> u)，使得 u 的出入度之差減二， v 的出入度之差加二。

因此我們設 \(D[cur] = \frac{ind[cur] - outd[cur]}{2}\)，並且先將無向邊 \((u, v)\) “連”（原圖中)成 \((u -> v)\)，並且連一條反悔邊 \((v -> u, val = 1)\)，表示反悔將使 \(D[u]--,D[v]++\)。有向邊按題意連，同時維護 \(D\)。最終如果 \(D\) 出現小數，說明無合法方案；否則 \(S ->\) 正數 \(D\)，負數 \(D -> T\)（不難，好好想想）。

然後跑最大流。如果可以滿流（最大流等於所有正數節點的權值之和），那麼說明至少存在一種方案，能夠使得該圖為歐拉回路。

實際上最快的理解方式就是舉個簡單的例子，尋找正確的方法。

無源匯有上下界可行流

首先把下界強行跑滿，但是可能會不符合網路流的流量守恆的性質。

根據入與出的差值，如果某個點入過多，那麼就給它找個出的機會，就是來自 \(S\) 的幫助；反之，如果出過多，就給它找到個入的機會，就是來自 \(T\) 的幫助。

因此，我們將入過多的點與 \(S\) 相連，出過多的點與 \(T\) 相連，剩餘的邊的邊權為原圖的 \(max - min\)。然後跑最大流，能滿流就說明可行。

可行的方案為跑完最大流後的（除去 \(S\) 和 \(T\)）網路（加上下屆）。

無源匯有上下界最小費用可行流

例題： P3980 [NOI2008]志願者招募

由於下界是必須選的，因此下界必須的費用是一定會對答案造成貢獻的。剩下的對答案的貢獻為：為了流量守恆，不得不流動的流量，出現在最後的跑最大流中。因此最後我們在連向 \(S\) 或 \(T\) 時，將邊費用設定為 0.然後跑最小費用最大流，最後兩部分總和即為答案。

最小/大費用迴圈流

例題1：UVA1659 幫助小羅拉 Help Little Laura

例題2：T134939 Tree

這裡的迴圈流指的是：無源匯，容量無下界有上界，邊有費用，需要滿足流量守恆。求一股迴圈流滿足以上條件，且費用最小。

還是常見的套路（以最小費用最大流為例）：首先把負邊權給強制選上（為了更優，同時避免負環），不過注意要留“後路”，即返回邊。這樣的話雖然費用盡可能的少了，但是“流量守恆”可能就不符合了。於是我們可以利用S和T調節一下，使得流量守恆，又要儘可能少地花費。這一步就是普通的MCMF了。

即：正邊 \((u, v, w, f)\) 照常連，負邊\((u, v, w, f)\) 先讓答案加上個\(w * f\)，然後連邊：\((u, t, w, 0), (s, v, w, 0), (v, u, w, -f)\)，跑最小費用最大流。最終答案就是一開始加的那些\(w * f\) 再加上後來跑的最小費用。

有源匯有上下界可行流

實際上這個更常考些，如: Budget 和 Shoot the Bullet

有源匯的網路流，源匯可以不滿足流量守恆，源點可以隨便流出，匯點可以隨便流入。於是我們將其連邊（ \(T\) -> \(S\)），上下界設定為 \([0, +∞]\)。然後就是無源匯有上下界網路流。

有源匯有上下界最大流/最小流

其實都可以用二分來做。

最大流：求完可行流後，從\(s\)（原源點）到 \(t\) （原匯點）求一遍最大流（只經過原圖的點，跑餘量網路），\(ans += mxflow\)。

最小流：求完可行流後，從\(t\)（原匯點）到 \(s\) （原源點）求一遍最大流（只經過原圖的點，跑餘量網路）， \(ans -= mxflow\)。（lyd說填充迴圈流，並不太懂）

有源匯有上下界最小流還有一種更簡潔的方法：可以先不 \(t\) -> \(s\)，跑一個“無源匯”有上下界可行流，這時候所有迴圈流都已經填滿，然後我們再 \(t\) -> \(s\)，再跑一遍“無源匯”有上下界可行流，這時 \(t\) -> \(s\) 的流就是不得不跑的最小流

習題

P3980 [NOI2008]志願者招募

P4553 80人環遊世界

最小割二元關係新解

見連結。

Part 2

國家集訓隊2007論文集7.胡伯濤《最小割模型

還是直接看論文吧（儘管看不懂）

滿流邊不一定是最小割！！

基於定義的直接應用

例題：網路戰爭

題意：給一張無向圖，邊有邊權，有源點 \(S\) 和匯點 \(T\)。最小化：

\[\frac{\sum_{e}w_e}{|C|} \]

其中 \(C\) 為使 \(S\) 與 \(T\) 分開的割集， \(e\) 為割集中的邊。

直接除法不是很好做。發現答案具有單調性。我們可以二分答案 \(d\)，然後 \(che()\) 函式就是要判斷：

\[\frac{\sum_{e}w_e}{|C|} >= d \]

即

\[\sum_{e = (u, v)}{w_e - d} >= 0 \]

然後以新邊權為容量，求最小割即可。

容量為負？那選他一定更優（管他在不在割集裡面），直接把它割掉（即不加這條邊或設定其容量為0）統計答案。剩下的正權邊再跑最小割。

例題： SP839 OPTM - Optimal Marks

版本二提交處：bzoj2400

題意：

給你一個無向圖G（V，E）。每個頂點都有一個int範圍內的整數的標記。不同的頂點可能有相同的標記。

對於邊（u，v），我們定義:

\[Cost(u, v)\ = mark[u] \ xor \ mark [v] \]

現在我們知道某些節點的標記了。你需要確定其他節點的標記，以使邊的總成本儘可能小。在此條件下，要求點的標記總和儘可能小。 在這兩個條件下，你可以輸出任意一種合法的方案，以及邊的總成本和最小的點權和。

~~自己想出來的為數不多的最小割題，儘管TLE and WA 調到飛天。。。~~

發現 \(xor\)，並且各位之間互不干擾，因此可以針對每一個二進位制位做。

然後有點像“最大權閉合子圖”？總之就是未知的點選一或者選0，要求最終邊權和最小。

發現從已知的 1 走到 0，期間至少要經過一條對答案有貢獻的邊。或者說，我們要將點集分成兩類“塊”，1和0屬於不同的“塊”內。我們要做的是選出一些點，使得“1塊”和“0塊”不連通，並要求“邊界”最少。然後就很像最小割了。

將 \(S\) 向 "1點"連 inf 邊， "0點" 向 \(T\) 連 inf 邊，原圖中的邊為 1 邊。求最小割。然後從 \(S\) 出發dfs，遍歷到的點為我們選擇的 1 點。

為什麼這樣做點權和最小呢 ？

點權和可以拆成每一位對答案的貢獻。要求我們在做每一位時，點權和一定最小，也就是說，希望dfs到儘可能少的點。因為我們總是一遇到滿流邊就停止了，因此我們走到的是 \(S\) 所在的“最小區域”。

舉個例子：

S --(inf)--> 1 --(1)--> 2 --(1)--> 3 --(1)--> 4 --(1)--> 5 --(inf)--> T

這張圖你隨便認為最小割是哪一個，反正我們從 \(S\) 出發，只走到了 1。