題意

思路

這種問題一般都是劃分為若干不相交的集合，分別計算，然後再求和。在本題，就是算\(1\sim n\)每個數作為行最小數的方案數。

不失一般性，我們考察\(i\)作為行最小數的方案數。由於\(i\)可以出現在任意一行，因此方案數為\(n\)。如果\(i\)為行最小數，那麼同行的其他\(n - 1\)個數字必須比\(i\)要大，因此方案數就是從\(n^2 - i\)個數中選取\(n - 1\)個數，因此就是\(\tbinom{n^2-i}{n-1}\)。這一行中的\(n\)個數字可以任意排列，因此方案數為\(n!\)。在這一行之外的其他\(n^2 - n\)個數字也可以任意排列，因此方案數為\((n^2-n)!\)

因此最終答案為 \(\sum\limits_{i=1}^n i \cdot n \cdot \tbinom{n^2-i}{n-1} \cdot n! \cdot (n^2-n)!\)

程式碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 25000010;
const int mod = 998244353;

int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld", &n);
    ll t = 1;
    for(int i = 1; i <= n * n - n; i ++) t = t * i % mod;
    t = t * n % mod * n % mod;
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        ll x = 1;
        for(int j = n * n - i - n + 2; j <= n * n - i; j ++) {
            x = x * j % mod;
        }
        x = x * i % mod;
        ans = (ans + x * t % mod) % mod;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}