求平方根的兩種實現方式:二分法、牛頓迭代法
阿新 • • 發佈:2022-03-19
一、二分法
思路: 假設要求一個數字 A 的平方根,可以想象一個長為a、寬為b的矩形,這個矩形的面積就是數字A 。 當長=寬時,這個矩形就是正方形。在面積不變的情況下,使矩形變成正方形就需要調整長、寬的值,無非是長變短一點、寬變長一點,通過不停的迭代,直到長=寬時就能求出A的平方根,由於一個數的平方根可能是小數,所以只需要求出近似值即可(符合給定的誤差範圍就行)
以下是用go語言實現的程式碼:
// 全域性變數,精度 var precision = 0.000001 // Sqrt 計算開平方 , val是要計算平方根的值, mode是模式, 0 為二分法,1位牛頓迭代 func Sqrt(val float64, mode int8) (float64, error) { if val < 0 { return 0, errors.New("負數沒有平方根") } switch mode { case 0: return sqrtBisection(val, 1, (val/2)-1) case 1: return sqrtNewtonRaphson(val) default: return 0, errors.New("不識別的模式") } } // 二分法求平方根 func sqrtBisection(val float64, left float64, right float64) (float64, error) { count := 0 for left <= right { // 左,右 邊界值相加在除以2得到結果值 result := (left + right) / 2 tmp := result * result if tmp-val <= precision && tmp-val >= precision*-1 { fmt.Printf("二分法迴圈次數:%v\n", count) return result, nil } else if tmp > val { right = result } else { left = result } count += 1 } return -1, errors.New("計算錯誤") }
二、牛頓迭代法求平方根:
思想: 該方法的核心思想是通過在曲線上的某點做切線,該切線的根就很接近曲線的根,通過多次迭代即可無限逼近曲線真正的根 (前提是該曲線確實存在根,且給定範圍內可導,平方方程可以寫成: x^2 +c = 0 , 這個方程明顯是可導的,所以可以用牛頓迭代法求平方根)。
參考: https://www.zhihu.com/question/20690553
go語言實現:
func sqrtNewtonRaphson(val float64) (float64, error) { // 平方的表示式: x^2 + val = 0 , val就是要開平方的數 // 平方的導數: k=2x // 第一個曲線上的點 (val/2, f(x) ) , // 求出該點的 切線方程,通用切線方程: y=kx+c => 2x^2 +c => c= y-2x^2 // 求出該切線方程的根(與x軸的交點) // 判斷該根的平方與 val的誤差是否在精度內容, 如果是則返回,否則繼續以該根為x座標,算出y座標,得到下一次迭代的點座標,然後繼續上面的步驟 // ------------------------------------------------ // 求得曲線上y座標的方程 getYval := func(x float64) float64 { return x*x - val } // 求切線方程的常數項c的函式 getTangentC := func(x float64, y float64) float64 { return y - 2*(x*x) } // 求切線的根的函式 getTangentRoot := func(k float64, c float64) float64 { return -c / k } // 第一個點的座標 x := val / 2 y := getYval(x) // 求得切線c的值 c := getTangentC(x, y) // 求得切線的根 root := getTangentRoot(2*x, c) // 根的平方值 tmp := root * root // 迭代的次數 count := 1 // 迭代執行 for { if tmp-val <= precision && tmp-val >= precision*-1 { break } x = root y = getYval(x) c = getTangentC(x, y) root = getTangentRoot(2*x, c) tmp = root * root count += 1 } fmt.Printf("牛頓迭代法迴圈的次數:%v\n", count) return root, nil }
如何通俗易懂地講解牛頓迭代法求開方(數值分析)? - 馬同學的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20690553/answer/146104283如何通俗易懂地講解牛頓迭代法求開方(數值分析)? - 馬同學的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20690553/answer/146104283如何通俗易懂地講解牛頓迭代法求開方(數值分析)? - 馬同學的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20690553/answer/146104283