題目

構造一個 \(n*n(n\leq 500)\) 的矩陣，滿足元素均為正整數，不超過 \(10^15\) 且互不相同，

並且相鄰兩數若較大的為 \(x\)，較小的為 \(y\)，那麼任意相鄰兩數 \(x\bmod y\) 都相同。

分析

其實相鄰在構造題中有一個很好的辦法就是黑白染色，並且讓 \(x\bmod y=1\) 能使 \(x\) 儘量小。

綜合考慮值域和互不相同，可以發現讓白格為四個黑格的最小公倍數加一，那麼黑格互不相同就可以讓白格也儘量不同。

有一個很妙的方法就是黑格所在的對角線標記一個質數，這樣每個黑格被正對角線和反對角線的兩個質數相乘，

那麼由於至少有一條對角線不同，那麼黑格一定互不相同，白格也對應的互不相同，當然 \(n=2\)

然後前 \(2n\) 個質數不超過 \(16n\)，所以四個數的最小公倍數理論上最大為 \(4*10^{15}\) 實際上肯定達不到這個上界

程式碼

#include <iostream>
using namespace std;
const int M=8011,N=511,dx[4]={0,0,1,-1},dy[4]={1,-1,0,0};
int v[M+1],p[M+1],n,m; typedef long long lll; lll a[N][N];
lll gcd(lll x,lll y){return y?gcd(y,x%y):x;}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n,v[1]=1;
	if (n==2){
		cout<<"2 3\n5 16\n";
		return 0;
	}
	for (int i=2;i<=M;++i)
	if (!v[i]){
		p[++m]=i;
		for (int j=i;j<=M;j+=i) v[j]=1;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
	for (int j=1;j<=n;++j)
	if ((i+j+1)&1)
		a[i][j]=p[(i+j)>>1]*p[n+(i-j+n+1)/2];
	for (int i=1;i<=n;++i)
	for (int j=1;j<=n;++j)
	if ((i+j)&1){
		a[i][j]=1;
		for (int k=0;k<4;++k){
			int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
			if (x<1||y<1||x>n||y>n) continue;
			a[i][j]=a[i][j]/gcd(a[i][j],a[x][y])*a[x][y];
		}
		++a[i][j];
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
	for (int j=1;j<=n;++j)
	    cout<<a[i][j]<<(char)(j==n?10:32);
	return 0;
}