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CF1039E-Summer Oenothera Exhibition【LCT,根號分治】

正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1039E


題目大意

給出\(n\)個數的序列,\(m\)次詢問至少將這個序列分成多少段才能滿足每一段的和不超過\(w-q_i\)

\(1\leq n,m\leq 10^5,1\leq w,a_i\leq 10^9\)


解題思路

考慮暴力的做法,我們可以每次走到必須要分段時才分段顯然是正確的。

根據\(w-q_i\)從小到大來做,設\(t_i\)表示以\(i\)為左端點時,最長能分到的區間長度\(t_i\),那麼我們從\(i\)就能直接到達\(i+t_i\)

那麼我們從\(1\)出發一直往右跳看跳的次數就可以了,這個和

[HNOI2010]彈飛綿羊很像,考慮用\(LCT\)去維護。

不過這個\(t_i\)是可能每次都在改變的,所以不能只靠這樣來做,但是注意到\(i\)每次會直接跳過\(t_i-1\)個位置,我們不需要統計全域性的值。

所以我們考慮根號分治,對於一個\(T=\sqrt n\),我們當\(t_i\leq T\)時我們在\(LCT\)上條,當\(t_i>T\)時我們直接暴力跳。

同樣的我們不需要去維護這些\(>T\)\(t_i\),而是到達這些位置時直接二分下一個位置即可。

用一個堆去存\(t_i\leq T\)的位置以方便更改。

時間複雜度:\(O(n\sqrt n\log n)\)


code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath> 
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const int N=1e5+10,Q=230;
int n,m,w,a[N],t[N],ans[N];
int f[N][19],g[N][19],lg[N];
pair<int,int> q[N];
priority_queue<pair<int,int> >h;
struct LCT{
	int t[N][2],siz[N],fa[N];
	stack<int> s;bool r[N];
	bool Nroot(int x)
	{return fa[x]&&(t[fa[x]][0]==x||t[fa[x]][1]==x);}
	bool Direct(int x)
	{return (t[fa[x]][1]==x);}
	void PushUp(int x)
	{siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;return;}
	void PushR(int x){swap(t[x][0],t[x][1]);r[x]^=1;return;}
	void PushDown(int x){
		if(r[x]){
			PushR(t[x][0]);
			PushR(t[x][1]);
			r[x]=0;
		}
		return;
	}
	void Rotate(int x){
		int y=fa[x],z=fa[y];
		int xs=Direct(x),ys=Direct(y);
		int w=t[x][xs^1];
		t[x][xs^1]=y;t[y][xs]=w;
		if(Nroot(y))t[z][ys]=x;
		if(w)fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
		PushUp(y);PushUp(x);return;
	}
	void Splay(int x){
		int y=x;s.push(y);
		while(Nroot(y))y=fa[y],s.push(y);
		while(!s.empty())PushDown(s.top()),s.pop();
		while(Nroot(x)){
			int y=fa[x];
			if(!Nroot(y))Rotate(x);
			else if(Direct(x)==Direct(y))
				Rotate(y),Rotate(x);
			else Rotate(x),Rotate(x);
		}
		return;
	}
	void Access(int x){
		for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
			Splay(x),t[x][1]=y,PushUp(x);
		return;
	}
	void MakeRoot(int x)
	{Access(x);Splay(x);PushR(x);return;}
	void Link(int x,int y)
	{Access(x);fa[x]=y;return;}
	void Cut(int x,int y)
	{Access(x);Splay(y);fa[x]=t[y][1]=0;PushUp(y);return;}
	int FindRoot(int x){
		Access(x);Splay(x);PushDown(x);
		while(t[x][0])x=t[x][0],PushDown(x);
		Splay(x);return x;
	}
}T;
int MIX(int l,int r){
	if(r>n)return 1e9+7;
	int z=lg[r-l+1];
	int x=max(g[l][z],g[r-(1<<z)+1][z]);
	int y=min(f[l][z],f[r-(1<<z)+1][z]);
	return x-y;
}
int nxts(int x,int w){
	int l=x,r=n;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(MIX(x,mid)<=w)l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	return l;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&w,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]),f[i][0]=g[i][0]=a[i];
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
			f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
			g[i][j]=max(g[i][j-1],g[i+(1<<j-1)][j-1]);
		}
	for(int i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(int i=1;i<=n+1;i++)T.siz[i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		t[i]=1,T.Link(i,i+t[i]);
		h.push(mp(-MIX(i,i+1),i));
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d",&q[i].first),q[i].second=i;
	sort(q+1,q+1+m);reverse(q+1,q+1+m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=w-q[i].first;
		while(!h.empty()&&-h.top().first<=x){
			int p=h.top().second;h.pop();
			T.Cut(p,p+t[p]);t[p]++;
			if(t[p]<=Q){
				T.Link(p,p+t[p]);
				h.push(mp(-MIX(p,p+t[p]),p));
			}
			else t[p]=-1;
		}
		int now=1,sum=0;
		while(now<n+1){
			if(t[now]==-1)now=nxts(now,x),sum++;
			else{
				T.Access(now);T.Splay(now);
				sum+=T.siz[now]-1;
				now=T.FindRoot(now);
			}
		}
		ans[q[i].second]=sum;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%d\n",ans[i]-1);
	return 0;
}