牛牛是一個熱愛演算法設計的高中生。在他設計的演算法中，常常會使用帶小數的數進行計算。牛牛認為，如果在 \(k\) 進位制下，一個數的小數部分是純迴圈的，那麼它就是美的。現在，牛牛想知道：對於已知的十進位制數 \(n\) 和 \(m\)，在 \(k\) 進位制下，有多少個數值上互不相等的純迴圈小數，可以用分數 \(\frac xy\) 表示,其中 \(1≤x≤n,1≤y≤m\)，且 \(x,y\) 是整數。一個數是純迴圈的，當且僅當其可以寫成以下形式：

\[a.\dot{c_1} c_2 c_3 \dots c_{p - 1} \dot{c_p} \]

其中，\(a\) 是一個整數，\(p≥1\)

；對於 \(1≤i≤p\)，\(c_i\) 是 \(k\) 進位制下的一位數字。
\(n \le10^9\)，\(m \le 10^9\)，\(k \le 2\times 10^3\)。

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　　數學 結論 莫比烏斯反演 杜教篩

　　這幾天 \(\tt LOJ\) 登不上，於是換成了 \(\tt UOJ\) 了，至少有兩個樣例，洛古只有一個樣例。

　　猜出了結論，然後只能一波暴力莫比烏斯反演獲得了 \(72\) 分的好成績。

　　然後就不會了……

　　講一下怎麼猜到結論吧，首先我們對於 \(k\) 進位制下，迴圈節長度為 \(c\) 的小數 \(A\)，一定有 \(k^c A - A = t\)，其中 \(t\)

是一個整數，也就是如果一個分數 \(\frac{x}{y} = \frac{t}{k^c - 1}\)，其中 \(1 \le x \le n, 1 \le y \le m\) 的話，一定是合法的。

　　列舉所有 \(1 \le x \le n, 1 \le y \le m\) 的分數 \(\frac{x}{y}\)，首先我們要求 \(\gcd(x, y) = 1\)，然後考慮什麼分數不合法，然後猜以下，如果 \(\gcd(y, k) \neq 1\)，那麼一定不合法，我們只能初步判定有兩個條件，無法說明其正確性，但是隻要暴力跑一下第 \(2\) 組樣例（可能要十幾分鍾），然後就可以發現這個是正確的了！

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　　以上是我發現的過程，好像證明也差不多，可以根據 \(k^c A - A = t\) 展開，得到 \((k^c - 1)x = ty\)，然後有 \(k^cx \equiv x \pmod y \Leftrightarrow k^c \equiv 1 \pmod y \Leftrightarrow \gcd(k, y) = 1\)，於是完成了證明。

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　　然後我們的式子就是：

\[\begin{aligned} &\sum_{i = 1}^m[\gcd(i, k) = 1] \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = 1]\\ \end{aligned} \]

　　暴力可以直接展開多次，然後看之前的程式碼即可。

　　正解更為巧妙，我們令答案為 \(f(n, m, k) = \sum_{i = 1}^m[\gcd(i, k) = 1] \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = 1]\)，然後有：

\[\begin{aligned} &f(n, m, k)\\ =&\sum_{i = 1}^m[\gcd(i, k) = 1] \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = 1]\\ =&\sum_{d | k} \mu(d) \sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor} \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = 1][\gcd(d, j) = 1]\\ =&\sum_{d | k} \mu(d) f(\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor, n, d) \end{aligned} \]

　　遞迴解決即可，對於 \(k = 1\) 的情況，可以直接莫反後杜教篩解決。

　　程式碼