題目

The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1's in the decimal form of the integers from 1 to N. For example, given N being 12, there are five 1's in 1, 10, 11, and 12.

Input Specification:
Each input file contains one test case which gives the positive N (≤2^​30

Output Specification:
For each test case, print the number of 1's in one line.

Sample Input:

12

Sample Output:

5

解析

題意：

給定一個正整數N，求從1-N的所有正整數中，1總共出現了幾次。

思路：

這道題是《程式設計之美》上面的一道題（第2.4節），需要通過分析來總結規律，然後總結出公式，如果暴力去“數”1的個數，顯然會超時。但如果通過公式來算的話，時間複雜度就直接降到O(1)。具體分析過程比較複雜，詳情參見《程式設計之美》2.4節“1的數目”，這裡只給出結論——從右往左拆解當前數字，逐位分析每個位置出現1的次數，然後統計其規律與當前位置左右部分數字的關係，最後累加，即為結果。

以數字N=345、N=305、N=315

• 當N=345時，從1-345這345個數中，百位數字可以出現0、1、2、3四種，每種百位數字都可以跟一個數字為1的十位，而每種十位數字可以跟0-9這十種數字，所以從1~345這345個數中，十位數字為1的數共有(3+1)×10=40個，故十位上的1共出現40次。
• 當N=305時，百位上數字依然可以出現0、1、2、3四種，但要注意，百位數字為3時，後面不能再跟數字為1的十位，因為這樣的數字已經大於305了，所以從1~305這305個數中，十位數字為1的數共有3×10=30個，故十位上的1共出現30次。
• 當N=315時，百位上數字依然可以出現0、1、2、3
  四種，此時要注意，百位數字為3時，後面可以再跟數字為1的十位，但這樣的數字個位上只能出現0-5這6個數，即310、311、312、313、314、315，其他數字都會大於315，所以從1~315這315個數中，十位數字為1的數共有3×10+(5+1)=36個，故十位上的1共出現36次。

綜上，對於任意一個數字N，當要判斷從右向左數第i位上1出現的次數num時，可以將這個數字分成三部分，分別用left、current、right表示，即left=數字N在i位左側的數字、current=數字N在第i位的數字、right=數字N在i位右側的數字。例如數字N=123456，判斷從右向左第3位也就是百位上，即數字4所在位置1出現的次數時，left=123、current=4、right=56。此時分三種情況進行計算：

• current=0：num = left × 10ⁱ

• current=1：num = left × 10ⁱ+ (right + 1)

• current>1：num = (left + 1) × 10ⁱ

• 其中10^i^就表示的是當前處理的是個位、十位、還是百位、千位.......

所以如果使用result儲存最後的答案，用a表示當前是個、十、百、千位……使用left表示左邊部分表示的數字，right表示右邊部分表示的數字。

則從右往左（從個位往高位）開始遍歷，判斷當前位置的字元：

• 若是0：則在當前位置可以出現1的次數為left * a次。

• 若是1：則在當前位置可以出現1的次數為left * a + right + 1次

• 其他（2-9）：則在當前位置出現1 的次數為(left+1)*a

程式碼

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n, ans = 0, radix = 1, left, right, curr;
    cin >> n;
    while (n / radix) {
        left = n / (radix * 10); curr = n / radix % 10; right = n % radix;
        if (curr == 0) ans += left * radix;
        else if (curr == 1) ans += left * radix + right + 1;
        else ans += (left + 1) * radix;
        radix *= 10;
    } 
    cout << ans;
    return 0;
}