小Z與函式

題目描述

在 \(2022/3/24\) 上午，\(\tt zxy\) 看到了一個函式：

int get(int n)
{
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int vs=0;
		for(int j=i;j<=n;j++) if(a[i]<a[j])
			swap(a[i],a[j]),res++,vs=1;
		res+=vs;
	}
	return res;
}

有一個長度為 \(n\) 的序列 \(a\)，對於 \(a\) 的每個字首，將其作為一個序列 \(a\) 所求得的函式值是多少？

\(T\leq 5,1\leq n\leq 2\cdot 10^5,1\leq a_i\leq n\)

解法

社論：我都會做的題一定是垃圾題。我們可以把總次數分成 \(\tt swap\) 和 \(\tt vs\) 兩部分分別解決。

首先考慮 \(\tt swap\) 的次數，其實就是每個點前面比它小的值的個數之和（相同的值要去重），不難證明。

然後發現這個 \(\tt vs\) 很難做，好像單次計算都要 \(O(n^2)\)，那麼我們不妨先考慮如何動態插入，達成總時間複雜度 \(O(n^2)\) 的目標。考慮新加入的數對前面的影響，因為選擇排序原來是選出一個極長上升子序列，然後做這樣的變化：

上圖分別展示了，正常選擇排序時的變化，和我們在序列末尾插入（用紅點表示）對前面的影響。從插入的角度看，我們是選出一個極長下降子序列（首項為第一個 \(<\)

如果你理解了上面的過程，就不難寫出 \(O(n^2)\) 的優秀演算法：

for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<i;j++) if(a[j]<a[i])
		{
			swap(a[j],a[i]);ans++;
			if(!b[j]) ans++;b[j]|=1;
		}
		printf("%d ",ans);
	}

取出一個極長下降子序列是很難得，但是考慮到每個位置只會被覆蓋一次，我們考慮使用勢能法，把未覆蓋的位置作為勢能來讓複雜度正確。有一個關鍵的 \(\tt observation\)

所以我們維護一個關於值的 \(\tt set\)，每次暴力掃描，用樹狀陣列維護排名，那麼要麼刪除這個值，要麼覆蓋一個位置。根據勢能法，時間複雜度 \(O(n\log n)\)，程式碼實現極為簡潔。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <set>
using namespace std;
const int M = 200005;
#define ll long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
void write(ll x)
{
	if(x>=10) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int T,n,a[M],b[M],use[M];
struct fenwick
{
	int b[M];
	fenwick() {memset(b,0,sizeof b);}
	void clear() {memset(b,0,sizeof b);}
	void add(int x)
	{
		for(int i=x;i<=n;i+=i&(-i)) b[i]++;
	}
	int ask(int x)
	{
		int r=0;
		for(int i=x;i>0;i-=i&(-i)) r+=b[i];
		return r;
	}
}A,B;
void work()
{
	n=read();long long ans=0;
	set<int> s;A.clear();B.clear();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read(),b[i]=use[i]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		vector<int> d;
		for(auto &x:s)
		{
			if(x>=a[i]) break;
			int p=i-B.ask(x);
			if(!b[p]) b[p]=1,ans++;
			else if(b[p]) d.push_back(x); 
		}
		for(auto &x:d) s.erase(x);
		int y=a[i];ans+=A.ask(y-1);
		if(!use[y])
			s.insert(y),A.add(y),use[y]=1;
		B.add(y);
		write(ans),putchar(' ');
	}
	puts("");
}
signed main()
{
	freopen("function.in","r",stdin);
	freopen("function.out","w",stdout);
	T=read();
	while(T--) work();
}