如何知道月球距離地球有多遠？太陽的質量和半徑有多大？3 月 25 日 12 時，《張朝陽的物理課》第三十九期開播，搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，從牛頓萬有引力公式出發，通過生動的講解帶網友瞭解科學家們是如何估算月地距離和太陽質量的。同時，張朝陽還藉助黑體輻射相關公式，估算了太陽的半徑。

複習空間站受擾動軌跡方程 計算地球同步衛星軌道半徑

在上一期的直播課程中，張朝陽介紹了空間站受到擾動後軌道的變化規律。為便於理解，在本次課程開始，他先帶網友複習了這部分內容。假設空間站開始時做半徑為 r0 的圓周運動，速度大小為 v。在某一時刻空間站受到擾動，其速度大小改變了 Δv ，那麼空間站新的軌跡方程為：

由此公式可知，這個擾動的效應是線性的，軌道的變化很微小，因此在空間站工作的宇航員不用擔心會因為微小的擾動而掉落下來。

回到本次課程的主題，張朝陽強調，可以使用中學物理和非常簡單的數學來計算一些常見的天文學的量。他回顧了同步衛星的距離計算。所謂同步衛星，就是其繞地球的旋轉和地球自轉保持同步的衛星，從而與地球表面保持相對靜止。由於同步衛星的週期是 24 小時。根據圓周運動的加速度和萬有引力公式，衛星繞地做圓周運動的方程為：

其中 r 是圓周半徑，v 是衛星速度，G 和 Me 分別是引力常數和地球質量。在圓周運動中 v=ωr，這裡 ω 是角速度。代入上式可得：

張朝陽在此再次介紹了“黃金替換”：因為在地球表面有重力加速度 g=GMe / R^2，故可用 gR^2 替換式中引力常數和地球質量的乘積。另外，要計算的是同步衛星的軌道半徑，所以要將上式化為

由於轉一圈的弧度是 2π，一天是 60×60×24=86400 秒，因此同步衛星的角速度為 2π/86400 弧度每秒。代入各項數值即可得到同步衛星與地球中心的距離，約 42600 公里。張朝陽打趣道，這個距離相當於什麼呢？打個比方，空間站就像是出了地球的家門口，而同步衛星就像是出了遠門。

計算月球到地球的距離 推導太陽質量約為 2×10^30 千克

在同步衛星的計算基礎之上，張朝陽順水推舟地計算了月球到地球的距離。月球的週期大約是一個月 30 天（精確數值為 27.32 天），其角速度是同步衛星的三十分之一。根據前面的公式可以知道，月地距離的立方是同步衛星半徑立方的 900 倍。因此月地距離大約是同步衛星軌道半徑的 9.65 倍。這樣即可估算月地距離約為 40 萬公里。

他強調，假設衛星都在做圓周運動，那麼轉得越慢的衛星越在外層軌道，距離地球越遠；轉得越快的衛星越在內層軌道，距離地球越近。

隨後，張朝陽又計算了太陽的質量。此情況下，地球是太陽的衛星，因此前面的公式要把地球質量換成太陽質量，即

同時，地球繞太陽的週期約為一年 365 天，據此可以得到地球公轉角速度。張朝陽解釋，在這裡我們使用天文學測量得到的太陽到地球的距離數值。這個距離數值可以根據一些天文觀測計算得到。代入相應數值之後得到太陽質量約為 2×10^30 千克。“只要很簡單的計算就可以理解很多事情。”他再一次強調計算的重要性。

結合黑體輻射進行推導 估算太陽半徑約 70 萬公里

計算了太陽質量之後，張朝陽帶網友計算太陽半徑。對於太陽半徑有很多計算方法，比如根據太陽的視張角，藉助日地距離利用一些簡單的三角關係就可以計算出太陽的半徑。

▲張朝陽利用視張角計算太陽半徑的示意圖

隨後，他又介紹了一種更“奢侈”的方法。太陽輻射可以近似看作黑體輻射。太陽光能量譜的峰值波長大約在 500nm 處，根據黑體輻射的維恩位移定律可計算太陽的表面溫度。維恩位移定律指出，黑體的溫度與其輻射的峰值波長成反比，比例常數約為 2.898×10^{-3} 米開爾文，於是立即得到太陽表面溫度：

張朝陽介紹，太陽半徑大約是地球半徑的 109 倍，比月地距離還要大。

▲張朝陽利用黑體輻射知識計算太陽半徑

截至目前，《張朝陽的物理課》已直播三十餘期。從去年 11 月開啟第一節物理直播課，他先是從經典物理學開始，科普了牛頓運動定律與能量動量守恆原理等；接著從經典物理的“兩朵烏雲”說起，向近現代物理過渡，探討了黑體輻射、光電效應等問題。而後在量子力學上從薛定諤方程出發，陸續推導介紹了無限深勢阱、氫原子波函式，及諧振子量子化等更加具體實用的案例。