基於最短路的差分約束模型
1. 差分約束的功能
- 求不等式組的可行解
- 求滿足不等式組的每一個變數的最值
不等式組中每一個不等式形式如下：
\[x_i ≤ x_j + c_k \]其中，\(x_i\) 和 \(x_j\) 是自變數， \(c_k\)是因變數。
我們可以類比一下之前的最短路問題，假設存在一條從 j jj 走到 i ii，邊權為 c cc 的邊。在進行最短路計算時，只要遇到 d i s t [ j ] > d i s t [ i ] + c dist[j] > dist[i] +cdist[j]>dist[i]+c，我們就將 d i s t [ j ] dist[j]dist[j] 更新為 d i s t [ i ] + c dist[i] + cdist[i]+c。因此，當做完最短路之後，對於所有的 j jj，都有 d i s t [ j ] ≤ d i s t [ i ] + c dist[j] ≤ dist[i] + cdist[j]≤dist[i]+c
如果給我們一個圖，我們可以把每條邊看成一個不等式，那麼我們在這個圖上求一遍起點到所有點的最短距離（注意從起點出發，一定能走到所有的邊），求完之後每個邊的不等式都是滿足的。那麼，任何一個最短路問題，都可以轉換為一個不等式組。那麼反過來也一樣，一個不等式組也可以轉換為一個最短路問題。
因此，我們在解不等式組問題的時候，遇到一個不等關係，就將它處理成為 x i ≤ x j + c k x_i ≤ x_j + c_kx
i
≤x
j
+c
k
的格式，然後建立 j → i j→ij→i 權值為 c k c_kc
k
的一條邊。之後我們在這個圖上，隨便選擇起點（該起點需要滿足從該點出發，一定可以走遍所有的邊），求一下每個點到起點的最短距離，求完之後，所有的不等關係都會滿足。
- 求不等式的可行解
綜上所述，我們可以總結出差分約束求不等式可行解的做法：
源點需要滿足的條件：從源點出發，一定可以走到所有邊（某個點走不到沒有關係，因為從數學的角度，某個點就是某一個變數，既然沒有邊與它相連，它就沒有任何約束）。
步驟：
【1】先將每個不等式 x i ≤ x j + c x_i ≤ x_j + cx
i
≤x
j
+c 轉換成一條 j → i j→ij→i 長度為 c cc 的一條邊
【2】找一個虛擬源點，使得該源點一定可以遍歷到所有邊
【3】從虛擬源點求一遍 單源最短路
注意：
並不是所有圖都存在最短路，圖中可能存在負環，如果存在負環對應到不等式中就是無解。
因此，建圖完畢以後，做一次最短路，只有兩個結果：
（1）如果存在負環，那麼該不等式組一定無解
（2）如果不存在負環，則 d i s t [ i ] dist[i]dist[i] 就是原不等式組中 x i x_ix
i
的一個可行解
- 求滿足不等式組中每一個變數的最值
只記結論： 如果求的是最小值，則應該求最長路；如果求的是最大值，則應該求最短路。為什麼呢？以求 x i x_ix
i
的最大值為例：求所有從 x i x_ix
i
出發，構成不等式鏈 x i ≤ x j + c 1 ≤ x k + c 2 + c 1 ≤ . . . ≤ . . . ≤ c 1 + c 2 + . . . + c k x_i≤x_j+c_1≤x_k+c_2+c_1≤...≤...≤c1+c2+...+c_kx
i
≤x
j
+c
1
≤x
k
+c
2
+c
1
≤...≤...≤c1+c2+...+c
k
，通過做最短路以後可以確定 x i x_ix
i
的一系列上界，最終 x i x_ix
i
的最大值就等於所有上界中的最小值。
最長路的建圖方式和2節中最短路的建圖方式一樣，把不等式轉換成 x i ≥ x j + c x_i ≥ x_j + cx
i
≥x
j
+c， 建立一條 j → i j→ij→i 長度為 c cc 的一條邊（最短路只看≤，最長路只看≥）。
我們知道，如果不等式組中僅僅包含不同變數之間的大小關係，那麼我們求出的可行解一定是一個包含變數的相對關係，它不存在一個極值的概念。
因此，一旦題目讓我們求滿足不等式關係的極值，那麼一定會在不等式組中加入形如 x i ≤ c x_i ≤ cx
i
≤c 或 x i ≥ c x_i ≥ cx
i
≥c 這樣的條件（小於還是大於看求最短路還是最長路），這樣才能確定最後不等式組的邊界，得到極值。那麼，如何處理形如這種單變數常數關係呢？
【問題】如何轉化形如 x i ≤ c x_i ≤ cx
i
≤c，其中 c cc 是一個常數的這類關係？
答：建立一個虛擬源點 0 00，轉換為 x i ≤ x 0 + c x_i≤x_0+cx
i
≤x
0
+c，然後建立 0 → i 0→i0→i，長度是 c cc 的邊。