如果一個系統由 n 個變數和 m 個約束條件組成，每個約束條件形如 \(x_j-x_i<=b_k\)，其中 \(i,j\in[1,n],k\in[1,m]\)，則稱其為差分約束系統（System of Difference Constraints）。亦即，差分約束系統是求解關於特殊的 \(N\) 元一次不等式組的方法。

我們先來看一個簡單的數學問題，如下給定 4 個變數和 5 個不等式約束條件，求 \(x_3-x_0\) 的最大值。

\[\begin{align} x_1-x_0<=2 \tag{1} \\ x_2-x_0<=7 \tag{2} \\ x_3-x_0<=8 \tag{3} \\ x_2-x_1<=3 \tag{4} \\ x_3-x_2<=2 \tag{5} \end{align} \]

我們可以通過不等式的兩兩加得到三個結果，

\[\begin{align} x_3-x_0<=8 \tag{式3} \\ x_3-x_0<=9 \tag{式2+式5} \\ x_3-x_0<=7 \tag{式1+式4+式5} \end{align} \]

由以上結果很容易得知，\(x_3-x_0\) 的最大值是 7，也就是上面三式裡的最小值。

這個例子很簡單，只有 4 個變數和 5 個不等式約束條件，那如果有上百變數上千約束條件呢？僅憑肉眼手工計算效率太差，因此我們需要一個較為系統的解決辦法。

我們先來看一幅圖，如下，給定四個小島以及小島之間的有向距離，問從 0 號島到 3 號島的最短距離。箭頭指向的線代表兩個小島之間的有向邊，藍色數字代表距離權值。

這個問題就是經典的最短路問題。由於這個圖比較簡單，我們可以列舉所有的路線，發現總共三條路線，如下：

1. 0 -> 3，長度為 8

2. 0 -> 2 -> 3，長度為 7 + 2 = 9

3. 0 -> 1 -> 2 -> 3，長度為 2 + 3 + 2 = 7

最短路為三條線路中的長度的最小值，即 7，所以最短路的長度就是 7。細心的讀者會發現，這幅圖和最上方的五個不等式約束條件是有所關聯的，但這個關聯並不是巧合，而正是我們接下來要講的那個 "系統的解決辦法"。

差分約束與最短路

差分約束系統中的每個約束條件 \(x_i-x_j<=c_k\)

因此，我們可以把每個變數 \(x_i\) 看做圖中的一個結點，對於每個約束條件 \(x_i-x_j<=c_k\)，看成是從結點 \(j\) 向結點 \(i\) 的一條權值為 \(c_k\) 的有向邊，於是我們就可以把一個差分約束系統轉化成圖的最短路問題。

然而在實際問題中情況往往會複雜得多，例如，把條件約束裡的所有等號去掉，

\[\begin{align} x_1-x_0<2 \notag{} \\ x_2-x_0<7 \notag{} \\ x_3-x_0<8 \tag{去掉等號後} \\ x_2-x_1<3 \notag{} \\ x_3-x_2<2 \notag{} \end{align} \]

這個時候我們就需要將上面的小於號轉換成小於等於號。

當 \(x_i\) 被限定只能是整數時，這個轉換就會非常簡單，

\[(x_i-x_j<c_k) ↔ (x_i-x_j<=c_k-1) \notag{} \]

總結

差分約束問題下，

1. 如果要求最大值，則想辦法把每個不等式變為標準 \(x_i-x_j<=c_k\) 的形式，然後建立一條從 \(j\) 到 \(i\) 權值為 \(c_k\) 的邊，最後求最短路徑即可。
2. 如果要求最小值，則想辦法把每個不等式變為標準 \(x_i-x_j>=c_k\) 的形式，然後建立一條從 \(j\) 到 \(i\) 權值為 \(c_k\) 的邊，最後求最長路徑即可。

基本題

CodeVS 4416 - FFF 團臥底的後宮

給出 n 個形如 $x_i - x_j <= d $ 或 $x_i - x_j >= d $ 的不等式，求一組使 與 差最大的解，輸出最大差值，若無解輸出 -1，若 與 的差為無限大則輸出 -2。

#include <cstdio>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>

const int MAXN = 1000;
const int MAXM = 10000;

struct Edge;
struct Node;

struct Node {
    Edge *edges;
    bool inQueue;
    int dist;
    int count;
} nodes[MAXN];

struct Edge {
    Node *from, *to;
    int w;
    Edge *next;

    Edge(Node *from, Node *to, int w) : from(from), to(to), w(w), next(from->edges) {}
};

int n, m, k;

inline void addEdge(int from, int to, int w) {
    nodes[from].edges = new Edge(&nodes[from], &nodes[to], w);
}

inline bool bellmanFord() {
    std::queue<Node *> q;

    q.push(&nodes[0]);
    while (!q.empty()) {
        Node *node = q.front();
        q.pop();
        node->inQueue = false;

        for (Edge *edge = node->edges; edge; edge = edge->next) {
            if (edge->to->dist > node->dist + edge->w) {
                edge->to->dist = node->dist + edge->w;

                if (!edge->to->inQueue) {
                    edge->to->inQueue = true;
                    edge->to->count++;
                    q.push(edge->to);

                    if (edge->to->count > n) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
    }

    return true;
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nodes[i].dist = INT_MAX;
    }

    nodes[0].dist = 0;

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, d;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &d);
        a--, b--;

        addEdge(a, b, d);
        // $b - $a <= d
        // $a + d >= $b
    }

    for (int i = 0; i < k; i++) {
        int a, b, d;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &d);
        a--, b--;

        addEdge(b, a, -d);
        // b - a >= d
        // a - b <= -d
        // b + -d >= a
    }

    if (!bellmanFord()) {
        puts("-1");
    } else {
        if (nodes[n - 1].dist == INT_MAX) {
            puts("-2");
        } else {
            printf("%d\n", nodes[n - 1].dist);
        }
    }

    return 0;
}

參考

• 差分約束系統，維基百科
• 差分約束，部落格園
• 差分約束系統學習 , 個人部落格