1

\[\left\lfloor\frac {\left\lfloor \frac{x}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{bc}\right\rfloor \]

其中 \(x\in\R,b,c\in\N\)

• 證明：設 \(x=kbc+r\) ，其中 \(r\in[0,bc)\) ，我們把 \(x\) 帶入左邊式子可以的得到： \[k+\left\lfloor\frac {\left\lfloor \frac{r}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor \]

\(S_{myself}=\varnothing\)

因為：

\[ 0\le \left\lfloor\frac{\left\lfloor \frac{r}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor\le \left\lfloor\frac {r}{bc} \right\rfloor=0 \]

所以我們可以得到：

\[\left\lfloor\frac {\left\lfloor \frac{r}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor=k \]

顯然，右邊式子也等於 \(k\) ，所以結論成立。

2

步長為 \(k\)，模 \(i\)，兩個位置能夠互相走到的充要條件是 \(a\equiv b\bmod \gcd(k,i)\)

證明：

考慮設 \(g=(k,i)\)，我們有 \(a+cg=b+dg\Rightarrow a=b+(d-c)g\)，所以有 \(b+(d-c)g\equiv ck+b\bmod i\)，顯然存在這樣的一個 \(c\)。

同理，我們可以證明必要性。

3

平面圖尤拉公式：

\[ F-E+V=2 \]

其中 \(F\) 表示出現的平面數，\(E\) 表示邊數 \(V\) 表示點數。

4

圓內接六邊形，六條邊直線交於三點，三點共線（帕斯卡定理）

5

矩陣乘法的擴充套件性

我們認為，如果兩個運算 \(\times\) 和 \(+\) 滿足一下條件，就可以利用矩陣乘法來進行實現：

加法需要滿足：交換律，結合律，有么元。

乘法需要滿足：結合律，有么元。

加法和乘法需要滿足分配率，即左分配律，右分配律同時滿足。

滿足以上條件的定義了兩個運算的集合，也被稱作半環。

6

設 \(h(n)\) 表示一張有 \(n\) 個點的圖，加無向邊，如果加邊個數是奇數，貢獻是 \(-1\)，是偶數則為 \(1\)。考慮讓整張圖聯通的貢獻是多少。

有 \(h(n)=(-1)(n-1)h(n-1)\)

關於這點的證明，只需要注意到，一張大小為 \(n\) 的圖，設 \(T\) 表示 \(1\) 所在的連通塊，如果 \(|T|\le n-2\)，我們有其貢獻為 \(0\)，原因是剩下的圖偶數和奇數邊的方案相等。