簡介

本章將主要介紹以下內容：

• 圖的表示
• 圖的性質
• 複雜圖
• 圖上的計算任務

圖的表示

• 圖的定義：一個圖可以被表示為\(G = \{V, E\}\)，其中\(V = \{v_1, \dots, v_N\}\)是大小為\(N = |V|\)的節點集合，\(E = \{e_1, \dots, e_M\}\)是大小為\(M\)的邊的集合。

注意：在沒有特殊說明的情況下，本章只討論無向圖。

• 鄰接矩陣：描述圖的一個\(N \times N\)的01矩陣\(\boldsymbol{A}\)。如果點\(v_i\)和點\(v_j\)之間有邊，則\(\boldsymbol{A_{i, j}} = 1\)；反之，\(\boldsymbol{A_{i, j}} = 0\)
  
  例子：
  

圖的性質

度

• 度（Degree）：度表示這個節點和其他節點相鄰的次數，一般用\(d(v_i)\)來表示
• 鄰域（Neighborhood）：節點\(v_i\)的鄰域\(N(v_i)\)是所有和它相鄰的節點的集合。
  • 定理（握手定理）：一個圖中所有節點的度之和是圖中邊的數量的兩倍
  • 推論：無向圖鄰接矩陣的非零元素的個數是邊的數量的兩倍

連通度

• 途徑（Walk）：圖的途徑是節點和邊的交替序列，從一個節點開始，以一個節點結束，其中每條邊與緊鄰的節點相關聯。途徑的長度是途徑中包含邊的數量。
• 跡（Trail）：跡是邊各不相同的途徑
• 路（Path）：路是節點各不相同的途徑，也稱路徑
  • 定理：對於圖\(G\)
    及其鄰接矩陣\(\boldsymbol{A}\)，用\(\boldsymbol{A}^n\)表示該鄰接矩陣的\(n\)次冪。那麼\(\boldsymbol{A}^n\)的第\(i\)行第\(j\)列的元素等於長度為\(n\)的\(v_i-v_j\)途徑的個數（數學歸納法可證）
• 子圖（Subgraph）：圖\(G\)的一個子圖由\(G\)節點集的子集和邊集的子集組成，並且子圖的節點集必須包含邊集涉及的所有節點。
• 連通分量（Connected Component）：給定一個圖\(G\)，若一個子圖任意一對節點之間都至少存在一條路，並且子圖中的任何節點都不與除子圖節點外的其他節點相連，那麼這個子圖就是一個連通分量。
• 連通圖（Connected Graph）：圖中任意一對節點之間都至少存在一條路，即圖中只有一個連通分量。
• 最短路（Shortest Path）：給定連通圖中的任意兩點，連線這兩點的長度最小的路被稱為這兩點之間的最短路。最短路的長度被稱為兩點間的距離。
• 圖的直徑（Diameter）：圖中最長的最短路的長度。

中心性

節點的中心性（Centrality）用來衡量節點在圖上的重要程度。

• 度中心性（Degree Centrality）：利用節點的度來衡量節點的重要性（有多少人認為你厲害），即：\(c_d(v_i) = d(v_i) = \sum\limits_{j = 1}^N \boldsymbol{A_{i, j}}\)
• 特徵向量中心性（Eigenvector Centrality）：衡量節點的中心性時同時考慮鄰居節點的中心性（認為你厲害的人有多厲害），即：\(c_e(v_i) = \frac{1}{\lambda}\sum\limits_{j = 1}^N \boldsymbol{A_{i, j}} \cdot c_e(v_j) \Rightarrow \lambda \cdot \boldsymbol{c_e} = \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{c_e}\)。顯然，\(\boldsymbol{c_e}\)是矩陣的特徵向量，\(\lambda\)是對應的特徵值。中心性的值通常為正數，所以選擇中心性需要考慮所有元素均為正數的特徵向量。根據Perron-Frobenius定理，一個元素全為正的實方陣具有唯一的最大特徵值，其對應的特徵向量的元素全為正。因此可以選擇最大的特徵值\(\lambda\)，將它的相應的特徵向量作為中心性向量。
• Katz中心性（Katz Centrality）：是特徵向量中心性的一個變體，不僅考慮鄰居的中心性，還考慮了自己的中心性（你認為自己厲害），即：\(c_k(v_i) = \alpha \sum\limits_{j=1}^N \boldsymbol{A_{i,j}}c_k(v_j) + \beta\)。將其用矩陣表示，\(c_k = \alpha \boldsymbol{A}c_k + \beta \Rightarrow (\boldsymbol{I} - \alpha \boldsymbol{A})c_k = \beta\)。\(\alpha\)太大會導致方程無意義，太小會使得中心性沒有意義。在實踐中，經常令\(\alpha < \frac{1}{\lambda_{\max}}\)，這就保證了矩陣\(\boldsymbol{I} - \alpha \boldsymbol{A}\)的可逆性。那麼\(c_k\)可以按照如下方式計算：\(c_k = (\boldsymbol{I} - \alpha \boldsymbol{A})^{-1} \beta\)。
• 介數中心性（Betweenness Centrality）：檢查節點是否在圖中處於重要位置。節點\(v_i\)的介數中心性可以定義為：\(c_b(v_i) = \sum\limits_{v_s \neq v_i \neq v_t} \frac{\sigma_{st}(v_i)}{\sigma_{st}}\)。其中\(\sigma_{st}\)表示所有從節點\(v_s\)到節點\(v_t\)的最短路數目，\(\sigma_{st}(v_i)\)表示這些路中經過節點\(v_i\)的路的數目。顯然，介數中心性的值會隨著圖的增大而增大，因此需要進行歸一化處理。