資料結構與演算法 - 陣列

資料結構

一、定義
陣列（Array）是一種線性表資料結構。它用一組連續的記憶體空間，來儲存一組具有相同型別的資料。

線性表（Linear List）就是資料排成像一條線一樣的結構。每個線性表上的資料最多隻有兩個方向。除了陣列，連結串列、佇列、棧也是線性表結構。

與線性表對立的是非線性表，比如二叉樹、堆、圖等。之所以叫非線性，是因為，在非線性表中，資料之間並不是簡單的前後關係。

二、操作

三、細節

1. 為什麼資料編號從0開始？

從陣列的儲存模型上來看，“下標”最確切的定義應該是“偏移量（offset）”。
如果用a代表陣列的首地址，a[0]就是偏移量為0的位置，也就是首地址，a[k]就表示偏移量k個 type_size 的位置，所以計算 a[k] 的記憶體地址，以1開始，則多一次減法運算：

2. 陣列型別與大小如何選擇？
   1. 陣列型別根據實際的情況，預先估算資料量大小、儲存大小等需求；
   2. 如果資料大小事先已知，並且對資料的操作非常簡單，可以定義靜態陣列；
   3. 如果資料大小需要動態新增，並且需要反覆操作，可以定義動態陣列vector；

靜態與動態陣列

一、 定義

1.靜態陣列：不可以更改陣列長度的

2.動態陣列：動態陣列本質上就是陣列，是由靜態陣列封裝的一些擴容能力。

靜態陣列在記憶體中位於棧區，是在定義時就已經在棧上分配了固定大小，在執行時這個大小不能改變，在函式執行完以後，系統自動銷燬；

動態陣列是使用者自己創建出來的，位於記憶體的堆區，它的大小是在執行時給定，並且可以改變其大小。同時，使用完必須由程式設計師自己釋放，否則嚴重會引起記憶體洩露。

二、 動態擴容機制

vector(c++)：

1. 擴容原理？當向vector中插入元素時，如果元素有效個數size與空間容量capacity相等時，vector內部會觸發擴容機制。拷貝元素和釋放舊空間，可以通過&vector[0]的方式來檢視資料首地址改變情況。

2. 擴容大小？每次擴容新空間不能太大，也不能太小，太大容易造成空間浪費，太小則會導致頻繁擴容而影響程式效率。不同的的編譯器實現方式不同，vs中以1.5倍擴容，GCC以2倍擴容。

3. 如何避免擴容導致效率低？如果在插入之前，可以預估vector儲存元素的個數，提前將底層容量開闢好即可。如果插入之前進行reserve，只要空間給足，則插入時不會擴容，如果沒有reserve，則會邊插入邊擴容，效率極其低下。

4. 為什麼選擇以倍數方式擴容？以等長個數k進行擴容，向vector插入n個元素，需要插入元素操作和搬移元素操作的總和：\(n + \sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}ik= n + \frac{(1+n/k)*n}{2}\)，平攤下來每次操作時間\((n + \frac{(1+n/k)*n}{2})/n=3/2+n/2*k = O(N)\)。以倍數方式m進行擴容，向vector插入n個元素，需要插入元素操作和搬移元素操作的總和：\(n + \sum_{i=1}^{\log_{m}{n}}m^i= n + \frac{m(n-1)}{m-1}=n+\frac{mn}{m-1}\)，平攤每次操作的時間\((n+\frac{mn}{m-1})/n = O(\frac{m}{m-1}))=O(1)\)，m為常量。

5. 為什麼選擇1.5倍或者2倍方式擴容，而不是3倍、4倍？（斐波那契數，1.618）理想的分配方案是在第N次擴容時如果能複用之前N-1次釋放的空間，因此按照小於2倍方式擴容，多次擴容之後就可以複用之前釋放空間。如果倍數超過2倍(包含2倍)方式擴容會存在：（1）空間浪費可能會比較高，比如：擴容後申請了64個空間，但只存了33個元素，有接近一半的空間沒有使用。（2）無法使用到前面已釋放的記憶體。

List(python)：list是以兩倍進行擴容，並且會建立新的陣列，然後拷貝，系統再回收久陣列。

二維陣列

一、定義

二維陣列就是在一維陣列上，多加一個維度；

二、宣告與初始化

1. c++ (靜態陣列)

//資料型別 陣列名[行數][列數];
int a1[3][3];
//資料型別 陣列名[行數][列數] = {{資料1，資料2，資料3}，{資料4，資料5}}；
int a2[3][3] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
//資料型別 陣列名[行數][列數] ={資料1，資料2，資料3，資料4}
int a2[3][3] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
//資料型別 陣列名[  ] [列數] = {資料1，資料2，資料3，資料4}；
int a3[][3] = { 1,2,3,4,5,6 };
//查詢二維陣列所佔記憶體空間
cout << "二維陣列佔用記憶體空間為:" << sizeof(arr) << endl;
cout << "二維陣列第一行佔用記憶體為:" << sizeof(arr[0]) << endl;
cout << "二維陣列第一個元素所佔記憶體空間" << sizeof(arr[0][0]) << endl;
// 行列數
cout << "二維陣列行數為:" << sizeof(arr) / sizeof(arr[0]) << endl;
cout << "二維陣列列為：" << sizeof(arr[0]) / sizeof(arr[0][0]) << endl;
//可以檢視二維陣列的首地址
cout << "二維陣列首地址為：" << (int)arr << endl;
cout << "二維陣列第一行首地址為：" << (int)arr[0] << endl;
cout << "二維陣列第二行首地址為:" << (int)arr[1] << endl;

cout << "二維陣列第一個元素首地址：" << (int)&arr[0][0] << endl;

2. c++ (動態陣列)

vector<vector<int>> a(m, vecotr<int>(n, 0));

3. python (list)

li = [[0 for i in range(m)] for j in range(n)]

山脈陣列

一、 定義

山脈陣列：\(arr.length >= 3\),在 \(0 < i < arr.length - 1\)條件下，存在\(i\)使得：

• \(arr[0] < arr[1] < ... arr[i-1] < arr[i]\)
• \(arr[i] > arr[i+1] > ... > arr[arr.length - 1]\)

二、 題型

旋轉陣列

一、 定義

旋轉陣列：nums在預先未知的某個下標 \(k（0 <= k < nums.length）\)上進行了 旋轉，使陣列變為\([nums[k], ..., nums[n-1], nums[0], ..., nums[k-1]]\)（下標 從 0 開始 計數）。例如， \([0,1,2,4,5,6,7]\) 在下標 3 處經旋轉後可能變為 \([4,5,6,7,0,1,2]\) 。

注意：

1.旋轉陣列，無論選擇多少次都是二分有序。

2.元素可以重複出現, 因此旋轉點一定是最小值, 但最小值不一定是旋轉點，如\([2,0,2,2,2]\)。因此需要判斷左右端點，當左右端點與中點相等，左遞增1右遞減1，然後再根據單調性來判斷。最小值可以根據右端點來比較。

二、 題型

環形陣列

一、 定義

陣列是 環形 的，所以可以假設從最後一個元素向前移動一步會到達第一個元素，而第一個元素向後移動一步會到達最後一個元素。

二、 題型

子陣列

一、 定義

子陣列 是陣列的連續子序列。

思路：滑動視窗（可變滑窗）和動態規劃。

二、 題型