不一定是組合博弈。

ABC246G - Game on Tree 3

比較簡單的樹上博弈，首先答案具有單調性，我們直接二分答案然後 DP 判定即可。

P8276 [USACO22OPEN] Hoof and Brain P

圖上博弈。

直接做沒有什麼思路，考慮從結束狀態倒推。結束狀態一定是一個棋子 \(b\) 堵住另一個棋子 \(a\)，並且 \(a\) 有唯一的出邊 \(b\)。

所以如果一個點出度唯一，就可以將它和它的出點合併，為保證複雜度直接啟發式合併即可。

P8173 「CEOI2021」 Newspapers

比較困難的樹上博弈。

考慮手算一下長度為 \(5\) 的鏈。

不難發現最優策略就是 \(2,3,4,4,3,2\)

• 1.一定不能有環，否則任意情況對方都有兩條路可走，永遠無法抓住對方。

• 2.我們查詢的過程類似於在樹上移動，每次可以將路徑上的點排除。一定是在相鄰點上移動，否則如果對方在跳過的那個點上，你就永遠不知道他的位置。

• 3.我們需要掃兩遍，因為如果將樹黑白染色，掃一遍只能排除一種顏色。

所以對於鏈的情況，一定有解且解為 \(2\to n -1,n-1\to 2\)，共 \(2n-2\) 次詢問，可以得到 \(8\) 分。

擴充套件一下，如果鏈的某個節點上再接上一段會發生什麼變化。

如果接上的是一個點，那麼答案不會變化，因為該節點和連線的鏈上節點顏色相反，所以不是在第一遍被排除就是在第二遍被排除。

如果接上的鏈是兩個點，那麼我們只用多進行兩次判斷即可。

就是 \(1\to A\to3\to A\to 2\)，\(2\to A\to 3\to A\to 1\)。

如果接更多的節點呢，驚奇的發現我們不能更深入 \(4\) 號節點。

如果我們到達 \(4\) 號，再回到 \(A\)，那麼進行 \(3\to 4\to 3\) 三次操作。這個時候如果對手在 \(P\) 或者 \(Q\) 號節點上，三次操作足夠對方跨過 \(A\) 到達另一邊。那麼自己回到 \(A\) 的時候根本不知道對手在哪邊，相當於前面的努力都白費了。

所以如果出現這種情況，兩邊都無法保全，只可能是無解。

這麼分析後最優解應該很清晰了，我們找到直徑，然後判斷是否有長度 \(\ge 3\)

時間複雜度 \(\mathcal{O}(N)\)，checker 的複雜度應該是 \(\mathcal{O}(N^2)\) 的。

P4654 [CEOI2017]Mousetrap

比較困難的樹上博弈。

先令陷阱 \(t\) 為根，我們看老鼠會怎麼決策。如果它往下走，最後會移動到葉子節點，那麼它的運動就被鎖死了，剩下的就完全在管理者的操控之內。那麼我們就試著求出 \(f_{i}\) 表示老鼠進入以 \(i\) 為根的子樹中，需要的運算元。那麼老鼠一定會選擇 \(f\) 最大的兒子，而我們一定會堵住這個兒子，所以老鼠一定會選擇次大的兒子。

如果老鼠往上走，那麼就需要考慮初始節點到根的路徑上，側接的子樹的 \(f\)。直接求顯然是不現實的，我們直接二分答案，如果子樹 \(f\) 加上在初始節點到根路徑上的運算元大於我們二分的 mid，那麼這個子樹必須被在老鼠到達之前堵住，我們讓老鼠一直向上走，看是否有充足時間堵住這些子樹。

樹/圖上博弈沒有什麼通解，是個和出題人鬥智鬥勇的過程。

比較好方法有觀察比較小的樣例/帶入當事人視角/貪心決策/動態規劃和二分思路/逆向思考結局倒推等。

思路必不能亂，畢竟出題人能想出來，說明題目的複雜性還是人力可及的。