【題解】AtCoder Beginner Contest 247 補題記錄
A Move Right
題意
給出一個長度為 \(4\) 且由 0 和 1 組成的序列。現在將除最後一位外每個位置上的字元右移一位。求最終得到的序列（第一位視作 0）。
思路
模擬。
B Unique Nicknames
題意
有 \(n\) 個人，每個人有其名 \(s_i\) 和姓 \(t_i\)。嘗試給每個人起一個暱稱 \(a_i\)，使得 \(\forall 1 \leq j \leq n\) 且 \(i \neq j\)，\(a_i \neq s_j\) 且 \(a_i \neq t_j\)。問是否存在合法方案。
\(2 \leq n \leq 100\)
思路
模擬。
用 map 記錄每個人的姓和名在所有姓名裡的出現次數。顯然當一個人的姓和名出現次數均大於 \(2\) 時無解。注意特判一個人的姓名相同的情況。
C 1 2 1 3 1 2 1
題意
按以下方式定義序列 \(S_n\)：
-
\(S_1 = 1\)
-
\(S_n = S_{n - 1}, n, S_{n - 1}, n \geq 2\)
給定 \(n\)，輸出 \(S_n\)
\(1 \leq n \leq 16\)
思路
\(n \leq 16\)，暴力遞迴模擬即可。
D Cylinder
給定 \(Q\) 個操作，對於序列 \(S\)，每次操作可以：
\(1\) 在 \(S\)
\(2\) 取出 \(S\) 開頭的 \(c\) 個元素，求它們的和。
資料保證對於操作 \(2\)，當時序列中的元素總數大於等於 \(c\)
\(1 \leq Q \leq 2 \times 10^5\)
\(0 \leq x \leq 10^9\)
\(1 \leq c \leq 10^9\)
思路
樹狀陣列 + 二分。
考慮將每個操作 \(1\) 視作一個元素，維護由這些元素組成的序列：
用兩個樹狀陣列分別維護序列中 \(c\) 的字首和 \(tot\) 和 \(c \times x\) 的字首和 \(sum\)，同時用兩個指標 \(s, t\) 表示當前 \(S\)
對於操作 \(1\)，直接更改樹狀陣列和指標。
對於操作 \(2\)，考慮在 \([s, t]\) 中二分出第一個位置 \(l\)，使得 \(\sum\limits_{i = s}^l c_i \geq c\)。此時分類討論：
-
\(\sum\limits_{i = s}^l c_i = c\)，直接樹狀陣列求和。然後 \(s = l + 1\)
-
\(\sum\limits_{i = s}^l c_i > c\)，此時前 \(c\) 個元素和為 \(\sum\limits_{i = s}^{l - 1} c_i \times x_i + (c - \sum\limits_{i = s}^{l - 1} c_i) \cdot x_l\)。此時 \(c_l \leftarrow c_l - (c - \sum\limits_{i = s}^{l - 1} c_i)\)，相應地需要修改樹狀陣列。
樹狀陣列複雜度 \(O(\log n)\)，二分複雜度 \(O(\log n)\)，總時間複雜度 \(O(Q \log^2 n)\)
E Max Min
題意
給定一個長度為 \(N\) 的序列 \(A\) 和兩個正整數 \(X, Y\)。試求出滿足 \(\forall L \leq i \leq R, \max(A_i) = X\) 且 \(\min(A_i) = Y\) 的有序正整數對 \((L, R)\) 的個數。
\(1 \leq N, A_i \leq 2 \times 10^5\)
\(1 \leq Y \leq X \leq 2 \times 10^5\)
思路
ST表 + 二分。
考慮用 ST 表維護區間最值。列舉 \(L\)，用四次二分得到 \([L, N]\) 中：
-
第一個令 \(\forall L \leq i \leq l_1, \max(A_i) = X\) 的位置 \(l_1\)
-
最後一個令 \(\forall L \leq i \leq r_1, \max(A_i) = X\) 的位置 \(r_1\)
-
第一個令 \(\forall L \leq i \leq l_1, \min(A_i) = Y\) 的位置 \(l_2\)
-
最後一個令 \(\forall L \leq i \leq r_2, \min(A_i) = Y\) 的位置 \(r_2\)
顯然 \([l_1, r_1]\) 和 \([l_2, r_2]\) 的交區間中，每一個下標都可以和 \(L\) 構成一對滿足條件的有序數對，直接統計答案。
ST表預處理複雜度 \(O(n \log n)\)，單次查詢最值 \(O(1)\)，二分複雜度 \(O(\log n)\)，總時間複雜度 \(O(n \log n)\)
注意 \(O(n \log^2 n)\) 的線段樹做法會被卡（或許是因為我常數大？）
F Cards
題意
有 \(n\) 張卡牌，第 \(i\) 張卡牌正面的數字為 \(P_i\)，背面的數字為 \(Q_i\)，其中 \(P_i, Q_i\) 均為 \(1\) 到 \(n\) 的排列。問有多少種方式，使得 \(1\) 到 \(n\) 中每個數字至少在一張卡牌的某一面中出現一次。
方案數對 \(998244353\) 取模。
\(1 \leq N \leq 2 \times 10^5\)
\(1 \leq P_i, Q_i \leq N\)
思路
轉化。
先考慮一個前置問題：若在 \(1\) 到 \(n\) 中，兩個相鄰數字至少要選一個，一共有多少種方案？
考慮令 \(n\) 個數的方案總數為 \(F(n)\)。分類討論：
-
若選 \(n\)，則方案數為 \(F(n - 1)\)
-
若不選 \(n\)，則必須選 \(n - 1\)，方案數為 \(F(n - 2)\)
顯然 \(F(1) = 1, F(2) = 3, F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), n \geq 3\)
回到問題。不妨構造一個包含 \(n\) 個結點的圖，並在 \(P_i, Q_i\) 直接連邊。顯然圖中每個結點的度數都是 \(2\)，因此這個圖是由若干個環組成的。現在問題被轉化成：求原圖的邊覆蓋總數。
顯然所有環都是等價的，因此考慮一個環的情況。令長度為 \(m\) 的環的邊覆蓋總數為 \(G(m)\)。將環的結點依次標號為 \(1\) 到 \(m\)，分類討論：
-
- 選擇邊 \((1, m)\)。此時將除 \((1, m)\) 外的邊依次標號為 \(1, m - 1\)，顯然標號相鄰的邊至少要選擇一條。方案總數為 \(F(m - 1)\)
-
- 不選擇邊 \((1, m)\)。此時邊 \((m - 1, m)\) 和邊 \((1, 2)\) 都必須被選擇。同理，方案總數為 \(F(m - 3)\)
所以 \(G(m) = F(m - 1) + F(m - 3)\)
用 \(F\) 表達 \(G(m - 2), G(m - 1), G(m)\)：
\[\begin{aligned} G(m - 2) &= F(m - 3) + F(m - 5) \\ G(m - 1) &= F(m - 2) + F(m - 4) \\ G(m) &= F(m - 1) + F(m - 3) \end{aligned} \]又有
\[\begin{aligned} F(m - 1) = F(m - 2) + F(m - 3) \\ F(m - 3) = F(m - 4) + F(m - 5) \end{aligned} \]所以 \(G(m) = G(m - 1) + G(m - 2)\)
手推可以發現 \(G(1) = 1, G(2) = 3, G(m) = G(m - 1) + G(m - 2), m \geq 3\)
最後所有環的 \(G\) 值乘積就是答案。
時間複雜度 \(O(n)\)
G Dream Team
題意
有 \(N\) 個人，第 \(i\) 個人來自第 \(A_i\) 所大學，擅長第 \(B_i\) 門學科，權值為 \(C_i\)。定義 Dream Team 為若干個人的組合，滿足：
-
Dream Team 中的所有人來自不同的大學
-
Dream Team 中所有人擅長的學科不同
設 Dream Team 最多有 \(k\) 個人。試對於 \(1 \leq i \leq k\)，求包含 \(i\) 個人的 Dream Team 的最大權值和。
\(1 \leq N \leq 3 \times 10^4\)
\(1 \leq A_i, B_i \leq 150\)
\(1 \leq C_i \leq 10^9\)
思路
費用流。
考慮新建兩個起點 \(s1, s2\) 和匯點 \(t\)，將每所大學和每個學科分別視作一個結點。
在 \(A_i, B_i\) 之間連線一條容量為 \(1\)，費用為 \(C_i\) 的邊。
在 \(s2, A_i\) 之間連一條容量為 \(1\)，費用為 \(0\) 的邊。
在 \(B_i, t\) 之間連一條容量為 \(1\)，費用為 \(0\) 的邊。
列舉最大人數 \(k\)。每次在 \(s1, s2\) 之間連線一條容量為 \(1\)，費用為 \(0\) 的邊，表示嘗試增加 \(1\) 個人。如果增廣的流量為 \(0\)，說明此時已經得到最大人數，退出；反之，此時增廣該流量的最大費用就是加入的人的權值，求字首和即可。
顯然 \(k \leq 150\)，時間複雜度是 O(能過)