簡介

有序的陣列可以使用二分查詢的方法快速檢索一個數據，但是連結串列沒有辦法使用二分查詢。

對於一個單向連結串列來說，即使連結串列中儲存的是有序的資料，但如果想要從中查詢某個資料時，也只能從頭到尾遍歷連結串列，其時間複雜度是 \(O(n)\)。

為了提高連結串列的查詢效率，使其支援類似“二分查詢”的方法，對連結串列進行多層次擴充套件，這樣的資料結構就是跳錶。跳錶對標的是平衡樹，是一種提升連結串列插入、刪除、搜尋效率的資料結構。

首先，跳錶處理的是有序的連結串列，一般使用雙向連結串列更加方便。

然後，每兩個結點提取一個結點到上一級，提取的這一層被稱作為索引層。

這時候，當想要查詢 19 這個數字，可以先從索引層開始查詢；當到達 17 時，發現下一個結點儲存 21 這個數字，則可以確定，想要查詢的 19 肯定是在 17 到 21 之間；這時候可以轉到下一層（原始連結串列）中查詢，快速從 17 開始檢索，很快就可以查找出 19 這個數字。

加入一層索引之後，查詢一個結點需要遍歷的結點個數減少了，也就是查詢效率提高了。實際上，一般會新增多層索引，擁有多層索引的跳錶，查詢一個結點需要遍歷的結點個數將再次減少。

這種連結串列加多層索引的結構，就是跳錶。

效率分析

為了方便對跳錶的效率做分析，在這裡設定一個常見的跳錶型別。

假設每兩個結點會抽出一個結點作為上一級索引的結點，那第一級的索引個數大約就是 \(\frac{n}{2}\)，第二級的索引個數大約就是 \(\frac{n}{4}\)，以此類推，第 k 個索引的結點個數是第 k-1 個索引的結點個數的 \(\frac{1}{2}\)，那麼，第 k 個索引的結點個數就是 \(\frac{n}{2^k}\)

時間複雜度

假設索引總共有 h 級，最高階的索引有 2 個結點，使用公式 \(\frac{n}{2^h} = 2\) 進行反推，可以計算得出 \(h = \log_2 n - 1\)，如果是包含原始連結串列那一級，跳錶的高度就是 \(\log_2 n\) 級。

如果想要從跳錶中查詢某個資料時，每層都會遍歷 m 個結點，那麼，在跳錶中查詢一個數據的時間複雜度就是 \(O(m \log n)\)。

從上面圖中可知，在每一級索引中最多隻需要遍歷 3 個結點，其實就可以看作是 m = 3。

實際就是，在最高階索引時最多遍歷 3 個結點，當需要在下一級索引中繼續檢索時，算上前後兩個當做範圍的結點也只有 3 個，因此，在每一級索引最多隻需要遍歷 3 個結點。

如果細究的話，m 的值與抽取索引值的間隔有直接關係，但是隻是計算時間複雜度的話，可以將 m 值看作是一個常數。

因此，在跳錶中做檢索的時間複雜度是 \(O(\log n)\)。

空間複雜度

同樣的，假設每兩個結點會抽出一個結點作為上一級索引的結點，那第一級的索引個數大約就是 \(\frac{n}{2}\)，第二級的索引個數大約就是 \(\frac{n}{4}\)，依次類推，最終索引佔用的空間將是 \(\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + ... + 4 + 2 = n - 2\)。

所以，跳錶的空間複雜度是 \(O(n)\)。

實際上，跳錶是一種使用空間換時間的資料結構，以增加索引的方式，提高檢索資料的效率。因此，跳錶會比普通連結串列耗費更多記憶體進行資料儲存。

結點間隔

在上述分析跳錶的時間複雜度和空間複雜度時，都是以每兩個結點抽出一個結點作為上一級索引的結點。

實際上，也可以使用 3 個結點或 4 個結點甚至更多結點做間隔。當然，以不同個數結點做間隔時，檢索效率和記憶體佔用都會有些不一樣。

假設以 3 個結點做間隔，佔用的空間會有所降低，在這個跳錶上做檢索操作時，檢索的效率也會有一些降低。

因為在每一級索引檢索的最多結點個數將從 2 個變成 3 個，跳錶的高度是 \(\log_3 n\) 級，最終佔用的空間將是 \(\frac{n}{3} + \frac{n}{9} + ... + 3 + 1 = \frac{n}{2}\)。

在理論上，以 3 個結點做間隔的跳錶與以 2 個結點做間隔的跳錶的時間複雜度和空間複雜度都是一樣的。但是，實際操作時，以 3 個結點做間隔的跳錶的空間佔用會比以 2 個結點做間隔的跳錶更優一些。

實際上，在軟體開發中，不必太在意索引佔用的額外空間。雖然原始連結串列中儲存的有可能是很大的物件，但索引結點可以只儲存關鍵值和幾個指標，並不需要儲存物件，所以當物件比索引結點大很多時，那索引佔用的額外空間就可以忽略了。

動態插入和刪除

上面理解的跳錶都是靜態的，實際開發中，跳錶在新增、刪除結點時需要做動態處理，否則容易導致檢索效率降低。

如上圖所示，如果頻繁插入結點，而沒有對索引層做動態處理，很容易出現不滿足一開始設定的跳錶規則。

刪除連結串列的結點時也是同樣道理，如果刪除結點而沒有更新索引層，索引層容易出現已被刪除的髒結點。

重建索引

比較容易理解的方法就是重建索引，當每次插入、刪除結點的時候，把整個跳錶的所有索引層刪除重建。

但是這種方法會降低插入結點時的效率，已知跳錶的空間複雜度是 \(O(n)\)，也可以推斷出重建跳錶索引層的時間複雜至少是 \(O(n)\)。

也就是說，使用重建索引的方式，跳錶插入結點耗費時間將會直線上升。

隨機索引

與重建索引相比，隨機索引的效率會更高一些，像 Redis 實現 SortedSet 底層用的跳錶就是使用隨機索引的方式進行動態處理。

這裡的做法是通過使用一個隨機函式，來決定這個結點插入時，是否需要插入到索引層、以及插入到第幾級索引。

一般來說，通過隨機函式得到的資料都是比較均勻的，也表示最終得到的跳錶索引層也是比較均勻，而且資料量越大，索引層越是均勻。

先設定索引的生成規則：從原始連結串列中隨機選擇 \(\frac{1}{2}\) 個結點作為一級索引，從一級索引中隨機選擇 \(\frac{1}{4}\) 個結點作為二級索引，以此類推，一直到最頂層索引。這時候就需要根據這個規則完成所需的隨機函式，並且是每次插入結點的時候，都通過隨機函式判斷這個結點需要插入到幾級索引。

以下是 Redis 原始碼當中使用到的隨機函式：

/* Returns a random level for the new skiplist node we are going to create.
 * The return value of this function is between 1 and ZSKIPLIST_MAXLEVEL
 * (both inclusive), with a powerlaw-alike distribution where higher
 * levels are less likely to be returned. */
int zslRandomLevel(void) {
    int level = 1;
    while ((random()&0xFFFF) < (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF))
        level += 1;
    return (level<ZSKIPLIST_MAXLEVEL) ? level : ZSKIPLIST_MAXLEVEL;
}

這個隨機函式會隨機生成 1 到索引最高層數之間的一個數字，該方法有 \(\frac{1}{2}\) 的概率返回 1、有 \(\frac{1}{4}\) 的概率返回 2、有 \(\frac{1}{8}\) 的概率返回 3、以此類推。其中 1 表示不需要生成索引，2 表示需要生成一級索引，3 表示需要生成二級索引，以此類推。

為什麼不是返回 1 時生成一級索引呢？這是因為，在生成比一級索引更高層級的索引時，都會向下生成索引，即如果隨機函式返回 3，則會給這個結點同時生成二級索引和一級索引。這樣，如果返回 1 時生成一級索引則會出現生成一級索引的概率為 100%。

使用隨機索引方法的跳錶，插入結點的時間複雜度與跳錶索引的高度相同，最終時間複雜度降到 \(O(\log n)\)，而不是重建索引的 \(O(n)\)。

應用場景

已經知道，Redis 使用了跳錶來實現有序集合。其中的原因就是跳錶按區間查詢元素的時間複雜度是 \(O(\log n + m)\)，而如果使用紅黑樹實現有序集合，按區間查詢元素將會比跳錶慢很多。

還有其他的一些開源產品也有使用到跳錶結構，如 HBase MemStore 內部儲存資料就使用到跳錶，Google 開源的 LevelDB 以及 Facebook 基於 LevelDB 優化的 RocksDB 內部的 MemTable 都是使用跳錶這種資料結構。