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線性規劃

一般線勝規劃問題的數學模型

線性規劃模型中的三要素 :

• 約束變數 \(x_{j}\) : 是問題中要確定的未知量.
• 目標函式 (決策變數的函式) \(\mathrm{max/min} z\) (\(\mathrm{max}\) or \(\mathrm{min}\) 取決於優化的目標).
• 約束條件 : 指決策變數取值時受到的各種資源條件的限制, 通常表達為含決策變數函式的等式或不等式.

假定線性規劃問題中含 \(n\) 個變數, 分別用 \(x_{j} (j = 1, \ldots ,n)\) 表示, \(c_{j}\) 為 \(x_{j}\)

的係數 (通常稱為價值係數), \(x_{j}\) 的取值受 \(m\) 項資源的限制, 用 \(b_{i} (i = 1, \ldots ,m)\) 表示各資源的擁有量, \(a_{ij}\) 表示變數 \(x_{j}\) 取值為 1 個單位時所消耗/含有的第 \(i\) 種資源的數量 (通常稱為技術係數/工藝係數). 那麼我們將一般線勝規劃問題的數學模型可表示如下:

\[\mathrm{max/min} \ z =c_{1}x_{1} + \ldots + c_{n}x_{n} \] \[ \mathrm{s.t.} \begin{cases} a_{11}x_{1} + \cdots + a_{1j}x_{j} + \cdots +a_{1n}x_{n} \leq/ \geq/ = b_{1} \\ \quad \vdots \qquad\qquad \quad \vdots \qquad\qquad \qquad \vdots \qquad\qquad \qquad \vdots\\ a_{i1}x_{1} + \cdots + a_{ij}x_{j} + \cdots +a_{in}x_{n} \leq/ \geq/ = b_{i} \\ \quad \vdots \qquad\qquad \quad \vdots \qquad\qquad \qquad \vdots \qquad\qquad \qquad \vdots\\ a_{m1}x_{1} + \cdots + a_{mj}x_{j} + \cdots +a_{mn}x_{n} \leq/ \geq/= b_{m} \\ x_{1}, \ldots , x_{n} \geq 0 \end{cases} \]

應用求和符號可簡寫為:

\[\mathrm{max/min} \ z =\displaystyle \sum_{j=1}^{n}c_{j}x_{j} \] \[ \mathrm{s.t.} \begin{cases} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} \leq/ \geq/= b_{i} ,\quad i = 1, \ldots ,m \\ x_{j} \geq 0, \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ j = 1, \ldots , n \end{cases} \]

應用矩陣形式表達可以進一步簡化為:

\[\mathrm{max/min}\ z = \boldsymbol{C}\boldsymbol{X} \] \[\mathrm{s.t.} \begin{cases} \boldsymbol{A}\boldsymbol{X} \leq/ \geq/= \boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{X} \geq \boldsymbol{0}\\ \end{cases} \]

或

\[\mathrm{s.t.} \begin{cases} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \boldsymbol{P_{j}}x_{j} \leq/ \geq/= \boldsymbol{b}\\ \boldsymbol{X} \geq \boldsymbol{0} \end{cases} \]

其中 \(\boldsymbol{C} = (c_{1},\ldots,c_{n})\) , \(\boldsymbol{X}=[x_{1},\dots,x_{n}]^{\mathrm{T}}\), \(\boldsymbol{P_{j}}=[a_{1j},\dots,a_{mj}]^{\mathrm{T}}\), \(\boldsymbol{b}=[b_{1},\dots,b_{m}]^{\mathrm{T}}\), \(\boldsymbol{A}\) 稱為約束方程組/約束條件的係數矩陣,其形式為:

\[\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\]

線性規劃模型的標準形式與一般形式的標準化

1. 目標函式必須為 \(\mathrm{max}\) : $$\mathrm{max}\ z =\sum_{j=1}^{n} c_{j}x_{j} $$
   例如: $$\mathrm{min}\ z^{\prime} = -\mathrm{max}\ z,\quad z^{\prime} = -z;$$
2. 約束條件的右端項 \(b_{j}\) 必須大於零 (將小於零的一行兩邊同時乘以 \(-1\));
3. 約束條件為等式 :將不等號變為等號, 通過補充非負變數 (+鬆弛變數/-剩餘變數);
4. 所有決策變數必須 \(x_{j} \geq 0\). 注: 若存在取值無約束的變數可令 \(x = x^{\prime} - x^{\prime \prime}, x^{\prime}\geq 0, x^{\prime \prime}\geq0.\)