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線性規劃的對偶理論與靈敏度分析

線性規劃的對偶問題

滿足下列條件的線性規劃問題稱為具有對稱形式：

其變數均具有非負約束, 其約束條件當目標函式求極大時均取 "\(\geq\)" 號, 當目標函式求極小時均取 "\(\leq\)" 號

對稱形式下對偶問題的一般形式

對稱形式下線性規劃原問題的一般形式:

\[\max z = \sum_{j=1}^{n} c_{j}x_{j} \\ \mathrm{s.t.} \begin{cases} a_{11}x_{1} + \cdots + a_{1n}x_{n} \leq b_{1}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \vdots \\ a_{m1}x_{1} + \cdots + a_{mn}x_{n} \leq b_{m} \\ x_{j} \geq 0,\quad j = 1, \ldots, n \end{cases} \]

則其對偶問題的一般形式:

\[\min w = \sum_{i=1}^{m} b_{i}y_{i} \\ \mathrm{s.t.} \begin{cases} a_{11}y_{1} + \cdots + a_{m1}y_{m} \geq c_{1}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \vdots \\ a_{1n}y_{1} + \cdots + a_{mn}y_{m} \geq c_{n} \\ y_{i} \geq 0,\quad i = 1, \ldots, m \end{cases} \]

應用下表比較對稱形式線性規劃的原問題與對偶問題：

專案	原問題	對偶問題
\(A\)	約束係數矩陣	約束係數矩陣的轉置
\(B\)	約束條件的右端項向量	目標函式中的價格係數向量
\(C\)	目標函式中的價格係數向量	約束條件的右端項向量
目標函式	\(\max z = \boldsymbol{C}\boldsymbol{X}\)	\(\min w = \boldsymbol{Y^{\prime}}\boldsymbol{b}\)
約束條件	\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}\leq \boldsymbol{b}\)	\(\boldsymbol{A^{\prime}}\boldsymbol{Y} \geq \boldsymbol{C^{\prime}}\)
決策變數	\(\boldsymbol{X} \geq 0\)	\(\boldsymbol{Y} \geq 0\)

非對稱形式的原一對偶問題關係

見下表

專案	原問題	對偶問題
\(A\)	約束係數矩陣	約束係數矩陣的轉置
\(B\)	約束條件的右端項向量	目標函式中的價格係數向量
\(C\)	目標函式中的價格係數向量	約束條件的右端項向量
目標函式	\(\max z =\displaystyle \sum_{j=1}^{n} c_{j}x_{j}\)	\(\min w =\displaystyle \sum_{i=1}^{m} b_{i}y_{i}\)

原問題 \(n\) 個決策變數 (\(x_{j}\))	對偶問題\(n\) 個約束條件 (\(c_{j}\))
$$x_{j} \geq 0$$	$$\sum_{i=1}^{m}a_{ij}y_{i} \geq c_{j}$$
$$x_{j} \leq 0$$	$$\sum_{i=1}^{m}a_{ij}y_{i} \leq c_{j}$$
$$x_{j}\ \text{無約束}$$	$$\sum_{i=1}^{m}a_{ij}y_{i} = c_{j}$$

原問題 \(m\) 個約束條件 (\(b_{i}\))	對偶問題\(m\) 個隨機變數 (\(y_{i}\))
$$\sum_{i=1}^{m}a_{ij}x_{j} \leq b_{i}$$	$$y_{i} \geq 0$$
$$\sum_{i=1}^{m}a_{ij}x_{j} \geq b_{i}$$	$$y_{i} \leq 0$$
$$\sum_{i=1}^{m}a_{ij}x_{j} = b_{i}$$	$$y_{i}\ \text{無約束}$$

1. 【注意區分對偶問題與標準化問題的操作區別, 避免引起混淆】
2. 【考點：將非對稱形式的原問題與對偶問題的轉化，重要例題，[1] Ch02 Page51 例2】
3. 【】

對偶問題的基本性質

單純形法計算的矩陣描述

對稱形式線性規劃問題

\[\max z = \sum_{j=1}^{n} c_{j}x_{j} \\ \mathrm{s.t.} \begin{cases} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} \leq b_{i},\ i =1, \cdots, m \\ x_{j} \geq 0,\quad \quad \quad j = 1, \ldots, n \end{cases} \]

的矩陣形式加上鬆弛變數 \(\boldsymbol{X_{S}}\) 後為

\[\max z = \boldsymbol{CX} + 0 \boldsymbol{X_{S}} \\ \\ \mathrm{s.t.} \begin{cases} \boldsymbol{AX} + \boldsymbol{I_{m}X_{S}} = \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{X} \geq \boldsymbol{0}, \quad \boldsymbol{I_{m}X_{S}} \geq 0 \\ \boldsymbol{X_{S}} = (x_{n+1},\cdots, x_{n+m})^{\prime} \end{cases}\]

應用單純形法計算時, 總選取 \(\boldsymbol{I_{m}}\) 為初始基, 對應基變數為 \(\boldsymbol{X_{S}}\).