導數

在微積分中，函式的變化率稱為導數（derivative）

下表列出了一些真實世界中的例子。

導數不是一個固定的數字，它本身也會是一個函式，會隨著時間或空間變化。

在一趟汽車旅行中，不同的時間的行駛速度可能會有所不同，但是行駛速度始終與汽車所走過的距離有關。如果準確記錄所有位置，就可以回過頭去觀察旅行中的任何一點的速度。這就是導數。

當函式遞增時，其導數為正；當函式遞減時，其導數為負。下圖說明了這個概念。

導數的動畫例子

下面是一個動畫，給出了一個直觀的導數概念，因為引數變化時函式的“擺動”會改變。

x變化時函式 \({\displaystyle \scriptstyle f(x)=1+x\sin(x^{2})}\)（藍色曲線）的切線變化。

該函式的導數值就是切線的斜率，綠色代表其值為正，紅色代表其值為負，黑色代表值為零。

利用導數來尋找區域性極大值（local maximum）或區域性極小值（local minimum）

說明了這個概念。有了這些知識，就可以利用導數來尋找區域性極大值（local maximum）或區域性極小值（local minimum）。

導數為正的任何地方，都可以向右移動一點，並找到更大的值。如果超過極大值，則函式現在必須遞減，因此其導數為負。在這種情況下，就應當要向左移動一點。在區域性極大值處，導數將精確為零。找到區域性極小值的邏輯是相同的，只是需要向相反的方向移動。

偏導數

偏導數就是導數，

在數學中，一個多變數的函式的偏導數，就是它關於其中一個變數的導數而保持其他變數恆定（相對於全導數，在其中所有變數都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。

比如：二元函式\(z=f(x,y)\)表示一個空間曲面,這個曲面有高有低:

理解\(x\)偏導函式,在求的時候\(y\)暫時不變,則相當取任意\(y=y0\)為截面時,在該截面上的曲線\(z=g(x)\) 的導數.注意,此時\(y\)看作常數。

二階偏導數

二階偏導數就是對函式關於同一個自變數連續求兩次導數，即\(d(dy/dx)/dx\)。