為什麼雜技演員走鋼絲時會手持長杆？花樣滑冰時如何調節轉動的角速度？4 月 15 日 12 時，《張朝陽的物理課》第四十五期開播，搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，從牛頓定律出發，推導質點系的質心運動定律和角動量定理，並將角動量定理應用於剛體的定軸轉動；對雜技表演中平衡杆的作用、花樣滑冰時轉速調節的原理進行解釋說明；最後還計算了長杆在重力作用下的擺動，闡述了長杆單擺與普通單質點單擺的區別。

質點系的質心運動定律：牛頓定律的簡單疊加

之前的一系列直播課程都圍繞著天體物理進行，主要介紹了太陽相關的知識。未來的直播課程將會介紹中子星，其中很重要的一點是中子星的轉動。為給後續課程做鋪墊，這一期張朝陽迴歸到了牛頓力學，介紹與轉動有關的一些物理知識。

他從簡單的兩質點系統入手，假設兩個質點的質量分別是 m1 和 m2，它們各自受到的合力分別為：

其中字母 g 表示外力，h 表示兩質點之間的相互作用力，下標 21 表示質點 2 對質點 1 的作用，下標 12 類似。這裡只考慮力 h 的方向平行於兩質點連線的情況。利用牛頓第二運動定律 F=ma，兩個質點會產生兩個方程，二者相加會得到組合的運動方程：

將前面合力的表示式代入等式左邊，有：

其中刪除線標註的兩項由於牛頓第三定律而互相抵消。前述運動方程的右邊可以寫為：

上式的 M 是總質量，r_CM 是質心座標。這樣就得到：

這就是質心運動定律。這個結果可以推廣到多質點的情況。等式左邊是質點系受到的合外力，右邊是總質量乘以質心加速度，形式與牛頓定律類似。

質點系的角動量定理：總角動量變化率等於合外力矩

張朝陽強調，質心運動定律雖然形式簡單，但是已經丟失了系統的很多資訊。“就像 2×6=12 與 3×4=12”，如果只知道最後結果是 12，是不能確定原來是 2×6 還是 3×4 的。質心運動定律所丟失的資訊就包括系統的角動量資訊。

(張朝陽推導質點系的角動量定理)

先考慮單質點的情況，在某一時刻，以質點的位置向量、質點受到的合力 F 所在的平面為 x-y 座標面建立三維笛卡爾座標，此刻質點的運動方程為：

分別考慮各個基矢的係數，可以得到兩個方程：F_x=md^2x / dt^2 和 F_y=md^2y / dt^2。

力 F 對質點的力矩為：

將力和位矢二次導數的關係代入可以得到：

質點的角動量定義為位置與動量的叉乘，有：

考慮角動量對時間的導數：

與前面的力矩公式對比可得：

這就是單質點的角動量定理。單位時間的角動量改變數等於力矩。

在單質點角動量定理的基礎上，張朝陽轉而考慮兩個質點的情況。與證明質心運動定律類似，對兩質點應用角動量定理，公式相加可以得到：

其中的力矩之和可以改寫為：

最後一個等式之所以成立，是因為質點 1 的位矢減去質點 2 的位矢等於質點 2 到質點 1 的位置向量，而它與力 h_21 平行，從而叉乘的結果為 0。於是，總角動量單位時間的改變數等於外力矩之和。這個結論可以推廣到多質點的情況。如果用 τ 表示外力矩，那麼角動量定理可以寫為：

或者寫為：

角動量定理在剛體定軸轉動上的應用

前面推導的角動量定理對所有滿足要求的質點系都是成立的，因此也可以應用於剛體的定軸轉動。以剛體的轉動軸為 z 軸建立柱座標系，與 z 軸垂直的座標面使用極座標。考慮剛體上的一小塊質量，把它看成第 i 個質點，它的角動量為：

在定軸轉動的柱座標描述下有：

其中角度 θ 沒有標註下標 i 是因為定軸轉動下剛體每一點 (軸心上的點除外) 的角速度都是一樣的。在定軸轉動的情況下，只需要考慮 z 分量的角動量定理。將上式代入質點 i 的角動量公式並利用基矢叉乘關係：

可得該質點角動量的 z 分量為：

質點 i 的角動量還包含徑向分量，不過基矢 e_r 對時間的導數正比於基矢 e_θ，不會對 z 方向產生任何影響，因此可以在考慮角動量對時間的導數的 z 分量時把質點 i 角動量的徑向分量忽略掉。注意到剛體定軸轉動下，r_i 不會隨時間變化，於是剛體總角動量對時間的導數的 z 分量為：

後文為了表述的簡潔性，將把角動量的 z 分量簡稱為角動量。定義剛體的轉動慣量為：

那麼角動量隨時間的變化率可以寫為：

接著，考慮質點 i 的外力矩：

於是：

這就是剛體定軸轉動的角動量定理。

(張朝陽推導剛體定軸轉動的角動量定理)

如果外力等於 0，那麼上式右邊等於零，換言之 Iω 為常數，不隨時間變化，這就是剛體的角動量守恆定律。

張朝陽以花樣滑冰時運動員在冰上的轉動為例進行說明。運動員轉動時也會做各種動作，雖然不能看成剛體，但角動量守恆依然成立。運動員在冰面受到的摩擦力可忽略不計，重力與支援力相互抵消，可以近似看成不受外力作用。當運動員轉動過程中，如果將手縮回，則轉動慣量公式中與手對應的 r_i 變小了，從而運動員的轉動慣量也將變小；因為角動量保持不變，所以運動員的角速度 ω 必然會增大；反之，如果運動員的手伸張出去，角速度則會變小。

對於剛體定軸轉動的角動量定理，張朝陽則以走鋼絲的雜技演員手持長杆作為例子。雜技演員手中的長杆可以幫其提高轉動慣量，從而在受到同等大小的力矩擾動的情況下，手持長杆時會比沒有長杆時的角速度改變數要小，雜技演員也因此更容易恢復平衡。

作為剛體角動量定理的應用，他還計算了長杆單擺在重力作用下的運動。假設長杆的質量線密度為 μ，長度為 L，那麼它的轉動慣量為：

對長杆單擺的力矩貢獻不為 0 的只有重力，重力力矩為：

將其代入剛體的角動量定理，化簡得到：

張朝陽強調，如果簡單地把長杆看成所有質量集中於長杆質心處的物體，得到的單擺方程會變為：

其係數 2 與嚴格推導得到的 3/2 有較大差別，因此，不能簡單地把物體的所有質量等效到質心處。回到正確的單擺方程，雖然它本身比較複雜，不能簡單地求解，但是當擺動角很小時，sinθ 約等於 θ，在此近似下有：

該方程與諧振子的振動方程類似。於是小幅度長杆單擺的角頻率為：

頻率和週期分別為：