圖論專題-學習筆記：Prufer 序列

阿新 • • 發佈：2022-04-17

1. 前言
2. 詳解
- 2.1 樹 \(\to\) Prufer 序列
- 2.2 Prufer 序列 \(\to\) 樹
3. 性質
4. 總結
5. 參考資料

1. 前言

Prufer 序列，是一種用來描述樹的序列，一般用於一些樹上度數統計的題。

注意作者是 OIer，考慮到 Prufer 序列在 OI 裡面的應用等，本篇文章目前只講述 \(O(n \log n)\) 的求法，\(O(n)\) 的求法後面會跟上來，會鴿子。

2. 詳解

設有一棵 \(n\) 點的樹，則這個 \(n\) 點的樹和一個長度為 \(n-2\) 的 Prufer 序列是一一對應的，下面給出樹與 Prufer 序列的互相轉換方式。

2.1 樹 \(\to\) Prufer 序列

轉換方式如下：

從當前樹上所有度數為 1 的點中取出編號最小的點，將與其直接連線的邊加入 Prufer 序列中。
刪除選出的這個點，同時被加入 Prufer 序列的點度數要減一，如果該點度數變為 1 那麼這個點就有可能被取出。
重複該操作直到只剩下兩個點，此時演算法結束，Prufer 序列長度為 \(n-2\)。

使用堆可以很方便的完成這一系列操作，複雜度 \(O(n \log n)\)。

這裡放上一張圖，來自參考資料中的 OI - Wiki 中的圖片（不確定他們這張圖是哪來的，反正我從這裡引用過來）：

參考程式碼如下，其中 \(fa_i\)

表示 \(i\) 的父親，程式碼中以 \(n\) 為根節點。

void TreeToPrufer()
{
	for (int i = 1; i < n; ++i) fa[i] = Read(), ++d[i], ++d[fa[i]];
	priority_queue <int> q;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (d[i] == 1) q.push(-i);
	for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
	{
		int x = -q.top(); q.pop();
		Prufer[++Prufer[0]] = fa[x]; --d[fa[x]];
		if (d[fa[x]] == 1) q.push(-fa[x]);
	}
}

實際上，根據構造方式，我們可以得出 Prufer 序列的兩個性質：

\(i\) 號點在 Prufer 序列中出現的次數為 \(i\) 號點度數 - 1。

同時，構造完 Prufer 序列後原樹只會剩下兩個節點，其中一個一定是 \(n\)。

2.2 Prufer 序列 \(\to\) 樹

仿照樹 \(\to\) Prufer 序列的做法，可以得到如下方式：

根據 Prufer 序列和上文的一個性質，算出所有點度數。
列舉 \(i \in [1,n-2]\)，設 \(\{p_i\}\) 為 Prufer 序列，每次取出當前未被刪除且度數為一的編號最小的點，設為 \(x\)，將 \(x\) 與 \(p_i\) 連邊然後刪去 \(x\)，同時減小 \(p_i\) 的度數。
最後應當會剩下兩個度數為 1 的點，其中一個一定是 \(n\)，將這兩個點連起來即可。

照樣使用堆來實現這一過程，複雜度 \(O(n \log n)\)。

參考程式碼如下，這裡採用了鏈式前向星連邊，然後使用一遍 dfs 求出 \(fa_i\)。

void dfs(int now, int father)
{
	fa[now] = father;
	for (int i = Head[now]; i; i = Edge[i].Next)
	{
		int u = Edge[i].To;
		if (u == father) continue ;
		dfs(u, now);
	}
}

void PruferToTree()
{
	for (int i = 1; i <= n - 2; ++i) Prufer[i] = Read(), ++d[Prufer[i]];
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ++d[i];
	priority_queue <int> q;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (d[i] == 1) q.push(-i);
	for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
	{
		int x = -q.top(); q.pop();
		add_Edge(x, Prufer[i]); add_Edge(Prufer[i], x);
		--d[Prufer[i]]; if (d[Prufer[i]] == 1) q.push(-Prufer[i]);
	}
	int p1 = -q.top(); q.pop();
	add_Edge(p1, n); add_Edge(n, p1);
	dfs(n, n);
}