P6280 [USACO20OPEN]Exercise G 題解
阿新 • • 發佈：2022-04-17
一道 DP 題，好像有人叫這類題為數論 DP？但是不就是一個質數嗎。
首先我們觀察到如果這堆奶牛想要回到原位，那麼對應的 \(a_i\) 一定會構成一個環。換言之，如果連邊 \(i \to a_i\)，那麼就會出現若干個環。
而如果需要恰好 \(k\) 步回到原位，那麼就需要所有環長的最小公倍數是 \(k\)。
顯然最小公倍數肯定只與質數最高次冪有關係，於是我們可以考慮線篩 \([1,n]\) 的質數然後 DP 。
設 \(f_{i,j}\) 表示選了前 \(i\) 個質數和為 \(j\) 時候的答案，那麼有轉移方程：
\[f_{i,j}=\sum_{p \leq p^q \leq j, q \geq 1}(f_{i-1,j-p^q} \times p^q) \]這個的大意就是說因為這裡選了 \(p^q\)
初值是 \(f_{0}=1\)，因為 \(k=1\) 也是可以的，只不過直接我們不會統計 \(k=1\) 的答案，所以要初值。
- 其實 \(k=1\) 的可行性題目中不是說的很清楚，\(k=1\) 是因為 \(a_i=i\) 時奶牛們動了一步，但是又全部呆在原地，
動了但完全沒動，此時也是算一種方案的。
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