題意

定義一個長度為 \(n\) 的置換的步數為將 \(P=(1,2,\cdots,n)\) 在該置換操作下變回原樣的最小次數。

求所有 \(K\) 的和，使得存在一個長度為 \(n\) 的置換使得其步數為 \(K\)，對 \(m\) 取模。

\(\texttt{Data Range:}1\leq n\leq 10^4,10^8\leq m\leq 10^9+7\)

題解

DP 練習題。

注意到一個置換的步數就是它的迴圈表示中所有迴圈長度的 \(\operatorname{lcm}\)。於是可以考慮對最大的質數因子來 DP。

設 \(f_{i,j}\) 表示當前所有迴圈中長度不為 \(1\) 的總長度之和為 \(i\)

考慮列舉一下 \(p_j\) 的次冪作為新的迴圈的長度（加到原來的迴圈由於之後算答案會去重所以是一樣的），於是得到一個轉移方程：

\[f_{i,j}=f_{i,j-1}+\sum\limits_{p_j^k\leq i}p_j^kf_{i-p_j^k,j-1} \]

然後可以 \(O(n^2)\) 轉移。

注意到這個 \(j\) 只由 \(j-1\) 轉移而來，所以可以滾動掉 \(j\) 的一維，同時 \(i\) 要倒序列舉。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=1e4+51;
ll n,ptot,MOD,res=1;
ll f[MAXN],prime[MAXN],np[MAXN]; 
inline ll read()
{
    register ll num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}
int main()
{
    n=read(),MOD=read(),f[0]=1;
    for(register int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!np[i])
        {
            prime[++ptot]=i;
        }
        for(register int j=1;i*prime[j]<=n;j++)
        {
            np[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j]))
            {
                break;
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i<=ptot;i++)
    {
        for(register int j=n;j>=1;j--)
        {
            for(register int k=prime[i];k<=j;k*=prime[i])
            {
                f[j]=(f[j]+(li)k*f[j-k]%MOD)%MOD;
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        res=(res+f[i])%MOD;
    }
    printf("%d\n",res);
}