P6275 [USACO20OPEN]Sprinklers 2: Return of the Alfalfa P 題解
一道很妙的 DP 題，一眼過去感覺這好像是個輪廓線 DP，然後這道題確實是輪廓線 DP 但不是 \(2^n\) 那種的。
本篇題解參照了其他題解的思路 （我從來沒寫過這種套路的題），在此表示感謝。
首先規定一下本文中的 \((i,j)\) 不是指第 \(i\) 行第 \(j\) 列，而是指網格線的第 \(i\) 行第 \(j\) 列這個點，如下圖所示：
紅色點就是 \((4,5)\)。
這道題的輪廓線就是從 \((0,0)\) 到 \((n,n)\) 的一條往右下線。
設 \(f_{i,j,0/1}\) 表示前面 \(i\) 行都全部覆蓋，當前輪廓線終止在 \((i,j)\)，輪廓線的最後一根方向是往右還是往下時的方案數。
首先看幾個結論：
- 輪廓線的拐點數就是必須要放的灑水器數。
比如說下圖，有 5 個拐點，那麼就要放 5 個灑水器。
- 假設上圖必須要放 \(k\) 個灑水器，整張圖能放灑水器的面積為 \(S\)，那麼對於當前輪廓線的總方案數為 \(2^{S-k}\)。
這個結論還是很明顯的吧，就是因為剩下的點可放可不放，而且每個點能放的灑水器數量只有一種。
好的又設 \(sum_{i}\) 表示這一行的能放灑水器的數量（空地數），可以開始推方程了。
對於 \(f_{i,j,0}\)：
我們發現其需要從 \(f_{i,j-1,0/1}\) 轉移。
- 從 \(f_{i,j-1,0}\) 轉移。
此時是這樣的：
發現拐點數沒變，覆蓋總面積也沒變，因此 \(f_{i,j-1,0}\) 的貢獻是 \(f_{i,j-1,0}\)。
- 從 \(f_{i,j-1,1}\) 轉移。
發現新增了一個紅色的灑水器，總面積沒變，對應的 \(2^{S-k}\) 變為 \(2^{S-k-1}\)，因此 \(f_{i,j-1,1}\) 的貢獻是 \(\dfrac{f_{i,j-1,1}}{2}\)。
綜上，\(f_{i,j,0}=f_{i,j-1,0}+\dfrac{f_{i,j-1,1}}{2}\)。
對於 \(f_{i,j,1}\)：
注意 \(f_{i,j,1}\) 需要從 \(f_{i-1,j,0/1}\) 轉移過來，因此面積數和拐點數都有變動。
\(f_{i-1,j,0}\) 的貢獻：面積數增加 \(sum_i\)，拐點數增加 1，方案數變化為 \(2^{S-k} \to 2^{S-k+sum_i-1}\)，因此貢獻是 \(f_{i-1,j,0} \times 2^{sum_i-1}\)。
\(f_{i-1,j,1}\) 的貢獻：面積數增加 \(sum_i\)，拐點數不變，方案數變化為 \(2^{S-k} \to 2^{S-k+sum_i}\)，因此貢獻是 \(f_{i-1,j,1} \times 2^{sum_i}\)。
所以 \(f_{i,j,1}=f_{i-1,j,0} \times 2^{sum_i-1}+f_{i-1,j,1} \times 2^{sum_i}\)。
這一組轉移可以參考下面兩幅圖：
注意 DP 的時候 \(i : \text\color{red}{0} \to n,j : \text\color{red}{0} \to n\)，整體程式碼還是很好寫的。
Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P6275 [USACO20OPEN]Sprinklers 2 Return of the Alfalfa P.cpp