本文始發於：https://www.cnblogs.com/wildmelon/p/16159189.html

一、前言

本文為常見的以圖作為資料結構的尋路演算法筆記，再次推薦該文章：
https://www.redblobgames.com/pathfinding/a-star/introduction.html
既有可互動的視覺化介面，又有由淺到深的尋路演算法講解。

二、廣度優先搜尋(BFS)

廣度優先搜尋的迴圈，是所有尋路演算法（基於圖節點）的關鍵。實際上會從起點開始，像在 Minecraft 遊戲裡倒一桶水般蔓延開來，遍歷到圖中的每個節點：

// 待搜尋隊列
Queue<TileNode> frontier = new Queue<TileNode>();
// 已搜尋節點
HashSet<TileNode> reached = new HashSet<TileNode>();
// 從起點開始
TileNode start = TotalTileModels[character.cellPosition];
frontier.Enqueue(start);
reached.Add(start);
// 遍歷搜尋上下左右的鄰節點
while (frontier.Count != 0)
{
    TileNode current = frontier.Dequeue();
    foreach (TileNode neighbor in current.neighbors)
    {
        if (!reached.Contains(neighbor))
        {
            frontier.Enqueue(neighbor);
            reached.Add(neighbor);
        }
    }
}
 

如果需要找到路徑，則用字典記錄每個節點的“父節點”，找到目的地之後，從尾節點向上返回到起點：

private void BFS()
{
    Queue<TileNode> frontier = new Queue<TileNode>();
    // 若 cameFrom[B]=A，說明B的上一節點為A，B是在A的鄰居中找到的
    Dictionary<TileNode, TileNode> cameFrom = new Dictionary<TileNode, TileNode>();
    TileNode start = TotalTileModels[character.cellPosition];
    TileNode target = TotalTileModels[destination.cellPosition];
    frontier.Enqueue(start);
    cameFrom.Add(start, null);
    while (frontier.Count != 0)
    {
        TileNode current = frontier.Dequeue();
        foreach (TileNode neighbor in current.neighbors)
        {
            if (!cameFrom.ContainsKey(neighbor))
            {
                frontier.Enqueue(neighbor);
                cameFrom.Add(neighbor, current);
                // 找到目標，提前退出
                if (neighbor == target) break;
            }
        }
    }
    TileNode link = target;
    while (cameFrom[link] != null)
    {
        path.Add(link);
        link = cameFrom[link];
    }
    path.reverse();
}
 

如果 path 為空，即字典 cameFrom 不存在 target。則說明沒有從終點返回起點的路徑。

三、Dijkstra 演算法

廣度優先搜尋對於所有的節點採取一視同仁的態度，但許多遊戲都存在地形的概念，如沙漠、森林等地點可能會消耗更多的步行時間。

此時我們引入成本記錄跟蹤，來得到 Dijkstra 演算法，為了在待搜尋節點中先計算當前成本最低的節點，需使用優先順序佇列：

private void Dijkstra()
{
    // 優先順序佇列
    PriorityQueue frontier = new PriorityQueue();
    Dictionary<TileNode, TileNode> cameFrom = new Dictionary<TileNode, TileNode>();
    // 當前節點已消耗的成本
    Dictionary<TileNode, int> costSoFar = new Dictionary<TileNode, int>();

    TileNode start = TotalTileModels[character.cellPosition];
    TileNode target = TotalTileModels[destination.cellPosition];
    // 從起點開始搜尋
    frontier.Push(start, 0);
    costSoFar.Add(start, 0);
    cameFrom.Add(start, null);

    while (frontier.GetCount() != 0)
    {
        TileNode current = (TileNode)frontier.Out();
        // 到達目標，提前退出
        if (current == target) break;
        foreach (TileNode neighbor in current.neighbors)
        {
            int newCost = costSoFar[current] + neighbor.cost;
            // 未計算過該節點，或有新成本更低的路徑時，才進行計算
            if (!costSoFar.ContainsKey(neighbor) || newCost < costSoFar[neighbor])
            {
                frontier.Push(neighbor, newCost);
                costSoFar[neighbor] = newCost;
                cameFrom.Add(neighbor, current);
                mClickableTilemap.mTilemap.SetColor(neighbor.position, Color.blue);
            }
        }
    }
    while (cameFrom[target] != null)
    {
        mClickableTilemap.mTilemap.SetColor(target.position, Color.red);
        target = cameFrom[target];
    }
}
 

Dijkstra 演算法，會跳過中間消耗更高的水路：

同時可以發現，如果每個地塊的移動成本都是一致的（比如都是平原），那麼 Dijkstra 演算法和廣度優先搜尋其實是一樣的。

四、啟發式函式（Heuristic function）

無論是廣度優先搜尋還是 Dijkstra 演算法，都是以一種往外輻射的方式進行擴散的。但路徑尋找通常是有明確的方向性的（從起點指向終點方向），Dijkstra 演算法會往相反的方向擴散，對效能造成較大影響。

Dijkstra 演算法，只記錄了從起點到當前點的已消耗成本。我們將定義一個啟發式函式，對距離目標還有多遠進行評估，來得到（預估成本）。

某個節點的總成本=已消耗成本+預估成本，在待搜尋隊列中，優先選取總成本最低的節點進行計算。

預估成本可以由距離、時間或者其他遊戲特定因素來決定的。

以距離為例，常用的啟發式函式有兩種：

1. 曼哈頓距離：h(node) = |node.x-target.x| + |node.y-target.y|
2. 歐幾里得距離：h(x) = sqrt(pow(node.x-target.x, 2) + pow(node.y-target.y, 2))

理想情況下，啟發式結果與真實結果越相近越好，上面兩個距離相關的啟發式函式，在節點離終點越近時，預估成本都越小。

舉例來說，同樣是一片平原，已消耗成本為6時，有多種方案可選，既可以往終點走6步，也可以遠離終點。而在加入了啟發式函式進行預估成本評估後，顯然離終點更近的節點的預估成本和總成本會更低，並優先選取計算。

“曼哈頓距離”的預估成本通常會高於真實開銷，因為可能存在對角線斜走的可能，有一定概率無法發現最佳路徑。

“歐幾里得距離（兩點之間的直線距離）”的預估成本通常低於真實開銷，則可能會遍歷更多的節點影響效能。

五、貪婪最佳優先演算法

在貪婪最佳優先演算法中，會忽略已消耗成本，只考慮啟發函式計算的預估成本。
即：某個節點的總成本=預估成本。

以“曼哈頓距離”為啟發式函式為例，貪婪最佳優先演算法會優先考慮離目標更近的點：

private void Greedy()
{
    PriorityQueue frontier = new PriorityQueue();
    Dictionary<TileNode, TileNode> cameFrom = new Dictionary<TileNode, TileNode>();

    TileNode start = TotalTileModels[character.cellPosition];
    TileNode target = TotalTileModels[destination.cellPosition];

    frontier.Push(start, 0);
    cameFrom.Add(start, null);

    while (frontier.GetCount() != 0)
    {
        TileNode current = (TileNode)frontier.Out();
        // 到達目標，提前退出
        if (current == target) break;
        foreach (TileNode neighbor in current.neighbors)
        {
            if (neighbor.nodeType == NodeType.Road && !cameFrom.ContainsKey(neighbor))
            {
                int cost = heuristic(neighbor, target);
                frontier.Push(neighbor, cost);
                cameFrom.Add(neighbor, current);
                mClickableTilemap.mTilemap.SetColor(neighbor.position, Color.blue);
            }
        }
    }
    while (cameFrom[target] != null)
    {
        mClickableTilemap.mTilemap.SetColor(target.position, Color.red);
        target = cameFrom[target];
    }
}

在平坦地形上，貪婪演算法效率是很高的，因為他會直奔目標而去（優先考慮預估距離更近的點）。但當存在障礙物時，路徑質量可能不太理想，因為會一直先取更近的點，所以可能會得到不太準確的路徑：

如圖，起點左邊、上邊、下方的方塊由於距離更遠的原因，會排在優先順序佇列的尾部，起點右上方的方塊會優先計算並組成路徑。

六、A* 演算法

上文可知：
對於 Dijkstra 演算法，總成本=已消耗成本，可以很好地找到最短路徑，但在方向不確定的情況下會消耗更多的效能。

對於貪婪最佳優先演算法，總成本=預估成本，效率更高，但可能找不到最短路徑。

而 A* 演算法，綜合了考慮當下和未來（由啟發式函式決定）：總成本=已消耗成本+預估成本。

// 微調 Dijkstra 函式即可
...
int priority = newCost + heuristic(neighbor, target);
frontier.Push(neighbor, priority);
...

由上程式碼可知，Dijkstra 演算法可當作 heuristic 函式返回 0 的A*演算法。

七、總結

三種演算法是在“已消耗成本”與“預估成本”之間進行評估，以在效率和路徑質量之間做取捨。

本質上仍舊是開頭的“廣度優先搜尋”迴圈的一種優化。

視覺化對比三種演算法的不同，可參考 redblobgames 的這篇文章末尾：https://www.redblobgames.com/pathfinding/a-star/introduction.html