因為SB大佬覺得有用，於是我決定轉載一下洛谷部落格
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優化形如\(f[i]=max/min(a[i]+b[j]+c[i]*d[j])\) \(（ j < i ）\)的DP方程，其中\(a[i]\) \(c[i]\)為只關於i的函式，\(b[j]\) \(d[j]\)為只關於b的函式，顯然可以化成\(f[i]=max/min(b[j]+c[i]*d[j])+a[i]\) \(（ j < i ）\)但發現由於存在\(c[i]*d[j]\)與i j都有關的項，所以不能用樸素的單調佇列繼續優化（廢話）

斜率優化

對決策點j,k(j<K)

考慮什麼情況j一定不如k（以min為例）

j不如k即

\(b[j]+c[i]d[j]>b[k]+c[i]d[k]\)

移項

\(c[i] (d[j]-d[k])>b[k]-b[j]\)

\(c[i]>(b[k]-b[j])/(d[j]-d[k])\)(可能會變號，取決於\(d[]\)的單調性)

由於\(c[i]\)單調遞增（題設），可以得到如果當前j不如k，那麼以後j也不會優於k，所以可以捨棄j，想到用單調佇列進行實現

定義函式\(slpoe(j,k)=(b[k]-b[j])/(d[j]-d[k])\)

顯然出隊條件為\(c[i]>slope(q[head],q[head+1])\)(head < tail,head tail這裡是閉區間，開區間+1即可)

如何維護入隊時佇列單調性？

發現，對於佇列中相鄰三項l,m,r，兩個斜率\(a=slope(l,m),b=slope(m,r)\)，如果\(a>b\)因為出隊條件\(c[i]>slope(q[head],q[head+1])\)那麼l出隊時，m必然出隊\((c[i]>a>b)\) 所以單調佇列的\(slope\)應該單調遞增

所以x入隊時

$while(head<tail \(&&\)slope(q[tail-1],q[tail])>slope(q[tail],x))$

(畫畫斜率可以發現維護了一個下凸包（也可能是上凸包）)

這樣，就可以用單調佇列配上\(slope\)

關於數形結合理解，由於本人太菜，顧不做詳細敘述，看看大佬們的部落格吧（逃）

優化後設隊頭為j

\(f[j]=a[i]+b[j]+c[i]d[j]\)

\(-c[i]d[j]+f[i]=a[i]+b[j]\)

可以看做一次函式解析式，-c[i]為斜率，當d[j]=0時，即為f[i]，所以直線在y軸上的截距就是所求，要取min，就讓f[i]儘可能小，截距儘可能小，畫圖（本人不會）發現是個下凸包
（具體還是看大佬們的部落格吧。。）

模板

P3628

P2120

P3195

不要少項！不要少項！不要少項！

f[i]的賦值可以直接用最初的式子，不用展開，推的式子寫個slope就行（不要問我為啥要寫這個）