1、問題：

之前有同學問過這樣一個問題：

echo|awk '{print 3.99 -1.19 -2.80}'
4.44089e-16

類似的問題還有在 java 或者 javascript 中：

23.53 + 5.88 + 17.64 = 47.05

23.53 + 17.64 + 5.88 = 47.050000000000004

為什麼結果不是 0 或者不相等呢？

如果你不能立馬回答出原因，那說明你對浮點數計算的基本知識還不瞭解。

剛好最近  segmentfault.com 上也有同學問了同樣的一個問題，現在整理下，以備忘。

2、浮點數的概念：

浮點數是屬於有理數中某特定子集的數的數字表示，在計算機中用以近似表示任意某個實數。具體的說，這個實數由一個整數或定點數（即尾數）乘以某個基數（計算機中通常是2）的整數次冪得到，這種表示方法類似於基數為10的科學記數法。

浮點計算是指浮點數參與的運算，這種運算通常伴隨著因為無法精確表示而進行的近似或舍入。

3、十進位制到二進位制的轉化問題：

為了更好的理解，先來看一下10進位制的純小數是怎麼表示的，假設有純小數D,它小數點後的每一位數字按順序形成一個數列： {k1,k2,k3,...,kn} 那麼D又可以這樣表示： D = k1 / (10 ^ 1 ) + k2 / (10 ^ 2 ) + k3 / (10 ^ 3 ) + ... + kn / (10 ^ n ) 推廣到二進位制中，純小數的表示法即為： D = b1 / (2 ^ 1 ) + b2 / (2 ^ 2 ) + b3 / (2 ^ 3 ) + ... + bn / (2 ^ n ) 現在問題就是怎樣求得b1,b2,b3,……,bn。演算法描述起來比較複雜，還是用數字來說話吧。宣告一下,1 / ( 2 ^ n ）這個數比較特殊，我稱之為位階值。

例如0.456,第1位,0.456小於位階值0.5故為0；第2位,0.456大於位階值0.25,該位為1,並將0.456減去0.25得0.206進下一位；第3位,0.206大於位階值0.125,該位為1,並將0.206減去0.125得0.081進下一位；第4位,0.081大於0.0625,為1,並將0.081減去0.0625得0.0185進下一位；第5位0.0185小於0.03125…… 最後把計算得到的足夠多的1和0按位順序組合起來，就得到了一個比較精確的用二進位制表示的純小數了，同時精度問題也就由此產生，許多數都是無法在有限的n內完全精確的表示出來的，我們只能利用更大的n值來更精確的表示這個數，這就是為什麼在許多領域，程式設計師都更喜歡用double而不是float。

4、解釋：

對於開頭的問題，我們再舉幾個例子（以下的例子採用 python 做示範）：

>>> 0.125
0.12500000000000000

>>> 0.1
0.10000000000000001

>>> 0.6 + 0.1
0.69999999999999996

納尼？什麼會這樣？ 0.125，也就是 1/8，的二進位制，是 0.001，可以在 10 進位制和 2 進制中輕鬆表達。 但 0.1 就是一個經典的頭疼數字了，它的二進位制，是 0.00011001100110011001100110011001...，一個無限迴圈小數。由於計算機中使用的浮點數是基於有限精度的二進位制數，因此，不可能絕對準確。這一現象往往在列印浮點數時才被注意到。 浮點數的二進位制表示，一般採用 IEEE 754 標準。標準規定：單精度格式具有 24 位有效數字，共 32 位。雙精度格式具有 53 位有效數字精度，共 64 位。 但是，如今的直譯器和 print 函式都足夠聰明，會在列印浮點數的時候自動舍入，但是又有一些浮點數由於誤差過大，又不能捨入。 因此造成了“有些浮點數計算是對的，有些是錯的”的現象。事實上，所有的浮點數運算都是“錯”的。也就是你問題的答案。同時，這可能會成為除錯程式的煙幕彈：“哎？print 出來就是 0.1，為什麼計算的時候會出現問題？” 例如，新版本的 Python 預設對所有的浮點數進行自動舍入。因此無法重現我在文首的例子。這時，可以使用

>>> print("%.17lf" % (0.6 + 0.1))
0.69999999999999996

同理，浮點數之間用 >, <, == 來比較大小是不可取的。需要看兩個浮點數是否在合理的誤差範圍，如果誤差合理，即認為相等。 另外一個陷阱是，浮點數的誤差會累積。

x = 0.0
for i in range(100):
    x += 0.1
print("%.17lf" % x)  #=> 9.99999999999998046
print(x)             #=> 99.1，print 自動舍入，得到了看似正確的結果

在一般計算中，處理二進位制浮點數需要用到很多技巧和技術。但在財務等運算中，必須要求完全精確的結果，這時候，需要模擬 10 進位制的浮點數。如 Python 中提供了 Decimal 模組，允許使用者傳入浮點數的字串進行模擬計算，避免精度問題。

from decimal import Decimal
x = Decimal("0.0")  # 注意：傳入字串。如果傳入浮點數，那麼在計算之前精度就損失掉了
for i in range(100):
    x += Decimal("0.1")
print("%.17lf" % x)  #=> 10.00000000000000000
print(x)             #=> 10.0

關於 IEEE 浮點數，浮點數的大小比較等具體演算法和細節，可以觀看網易上麻省理工學院的這一集課程：

http://v.163.com/movie/2010/6/4/1/M6TCSIN1U_M6TCT0L41.html ，可以從 05:39 處開始觀看。

5、結論

這就是為什麼交易系統的價格，金錢都不會使用float,double,包括資料庫的儲存。例如：mysql 可以用 decimal ，如果你是用 java， 在商業計算中我們要用 java.math.BigDecimal，注意：如果需要精確計算，非要用String來夠造BigDecimal不可！或者 sprintf 進行精度舍入。另外有些語言專門提供了處理金融資料的型別。

6、REFER：

1、http://zh.wikipedia.org/zh-cn/IEEE_754

2、http://baike.baidu.com/view/339796.htm

3、http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html

4、http://segmentfault.com/q/1010000000267988

5、http://www.laruence.com/2013/03/26/2884.html  PHP浮點數的一個常見問題的解答