題目大意

定義一種 \(Gabonacci\) 數列：

\[\begin{array}{c} G_1=a\\ G_2=b\\ G_i=G_{i-1}+G{i-2} \end{array} \]

給定一個正整數 \(n\) ，求最小的 \(a\) ， \(b\) 使得 \(n\) 是該數列上的一個數。 \(2\le n\le 10^9\)

題解

看到這道題，首先的想法是可以先與處理出類似於矩陣快速冪一樣的東西，使得我們可以在 \(O(1)\) 的時間內算出對於一種 \(a\) 與 \(b\) 在 \(x\) 位之後的數字。因為 \(Fibonacc\) 數列的第 \(50\) 位早已超過了 \(10^9\)

作者這裡直接利用了矩陣乘法，預處理出前 \(40\) 位的矩陣。而這裡的 \(Gabonacci\) 數列和 \(Fibonacc\) 數列的狀態轉移矩陣是完全一模一樣的，應該沒人不知道吧，給大家看一下：

\[\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \]

而初始矩陣就易得為：

\[\begin{bmatrix} b&a \end{bmatrix} \]

即：

\[\begin{bmatrix} G_{i-1}&G_{i-2} \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G_i&G_{i-1} \end{bmatrix} \]

然後我們考慮每一個預處理好的矩陣，我們如何通過狀態轉移矩陣和最後的值來求出初始的矩陣呢？我們可以回顧矩陣乘法，發現對於某一個轉移矩陣：

\[\begin{bmatrix} x&y \\ y&z \end{bmatrix} \]

\[G_i=a*x+b*y \]

這不就是求一個不定方程的特殊解嗎？我們可以利用擴充套件歐幾里得，計算出這個解。

程式碼如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=45;
struct Matrix
{
    int n,m,h[3][3];
    Matrix()
    {
        n=m=0;
        memset(h,0,sizeof(h));
    }
    void Set1(const int x)
    {
        n=m=x;
        for(int i=1;i<=x;++i)
        h[i][i]=1;
    }
};
Matrix operator * (const Matrix a,const Matrix b)
{
    Matrix ans;
    ans.n=a.n;
    ans.m=b.m;
    for(int i=1;i<=a.n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=b.m;++j)
        {
            for(int k=1;k<=a.m;++k)
            ans.h[i][j]+=a.h[i][k]*b.h[k][j];
        }
    }
    return ans;
}
int t,n;
Matrix stp[MAXN],tmp,ans;
int l,r,mid,tag;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int z)
{
    if(b==0)
    {
        x=z;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y,z);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return ;
}
signed main()
{
    stp[1].n=stp[1].m=2;
    stp[1].h[1][1]=stp[1].h[1][2]=stp[1].h[2][1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN-5;++i)
    stp[i]=stp[i-1]*stp[1];
    tmp.n=1;
    tmp.m=2;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=MAXN-5;i>=1;--i)
        {
            int a=stp[i].h[1][1],b=stp[i].h[2][1];
            int x,y,z=gcd(a,b);
            if(n%z!=0)
            continue;
            exgcd(a,b,x,y,z);
            x*=n/z;
            y*=n/z;
            int addx=lcm(a,b)/a;
            int addy=lcm(a,b)/b;
            int k=abs(x-y)/(addx+addy);
            if(x<y)
            {
                if(x+addx*k<y-addy*k)
                ++k;
                x+=addx*k;
                y-=addy*k;
            }
            else
            {
                if(x-addx*k<y+addy*k)
                --k;
                x-=addx*k;
                y+=addy*k;
            }
            if(x<=0||y<=0)
            continue;
            printf("%lld %lld\n",y,x);
            break;
        }
    }
    return 0;
}