均差公式

\[f[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k]=\dfrac{f[\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_k]-f[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{k-1}]}{\alpha_k-\alpha_1} \]

插值公式

\[\begin{aligned} &f_k(x)=f_{k-1}(x)+f[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{k+1}]\prod_{i=1}^{k}(x-\alpha_i)\\ &R_n(x)=\dfrac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=1}^{n+1}(x-\alpha_i) \end{aligned} \]

多項式插值定理

\[f(x)=f_n(x)+R_n(x) \]

公式已經全部給出，接下來嘗試理解並應用它們。

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PART 1 Feel it!

均差對標的是導數。

令
\begin{aligned}
\alpha_1=x_0,\quad
\alpha_2=x_0+h_1,\quad
\alpha_3=x_0+h_1+h_2
\end{aligned}
那麼

\[\begin{aligned} &f[x_0,x_0+h_1,x_0+h_1+h_2]\\\\=&\dfrac{f[x_0+h_1,x_0+h_1+h_2]-f[x_0,x_0+h_1]}{h_1+h_2}\\\\=&\dfrac{\dfrac{f(x_0+h_1+h_2)-f(x_0+h_1)}{h_2}-\dfrac{f(x_0+h_1)-f(x_0)}{h_1}}{h_1+h_2} \end{aligned} \]

取極限

\[h_1,h_2\rightarrow0 \]

二階均差就變成了二階導數。


插值的近義詞是擬合。

對於一個點 \((\alpha_1,f(\alpha_1))\)

有零階插值 $$f_0(x)=f(\alpha_1) $$

對於兩個點 \((\alpha_1,f(\alpha_1)),(\alpha_2,f(\alpha_2))\)

有一階插值

\[f_1(x)=f_0(x)+f[\alpha_1,\alpha_2](x-\alpha_1) \]

對於三個點 \((\alpha_1,f(\alpha_1)),(\alpha_2,f(\alpha_2)),(\alpha_3,f(\alpha_3))\)

有二階插值

\[f_2(x)=f_1(x)+f[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3](x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \]

對於 \(k\) 個點 \((\alpha_1,f(\alpha_1)),(\alpha_2,f(\alpha_2)),\cdots,(\alpha_k,f(\alpha_k))\)

有 \(k\) 階插值

\[f_k(x)=f_{k-1}(x)+f[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{k+1}]\prod_{i=1}^{k}(x-\alpha_i) \]
當然僅僅插值是不夠的，我們需要估計它的餘項。

對於給定的 $n+1 $ 個點

\[R_n(x)=\dfrac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=1}^{n+1}(x-\alpha_i) \]

如果存在重節點，均差變為導數，對應乘積項的冪提高即可。

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PART 2 Try it!

\(\rm Qn1\quad\) 設 \(f(x)\in C[a,b]\)，且 \(f(a)=f(b)=0\) ，求證：$$\left|\int_a^b f(x)\text dx\right|\leq\dfrac{(b-a)^3}{12}\text{max}|f''(x)|$$

\(\rm Sol\quad\) 由多項式插值定理

\[\begin{aligned} f(x)=&f_1(x)+R_1(x)\\=&f(a)+f[a,b](x-a)+\dfrac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b)\\ =&\dfrac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b) \end{aligned} \]

那麼

\[\begin{aligned} \left|\int_a^b f(x)\text dx\right|=&\left|\int_a^b \dfrac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b)\text dx\right|\\ \leq& \dfrac{1}{2}\text{max}|f''(x)|\left|\int_a^b (x-a)(x-b)\text dx\right|\\=& \dfrac{(b-a)^3}{12}\text{max}|f''(x)| \end{aligned} \]
$\rm Qn2\quad$ 已知函式 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上三階可導，且 $f(a)=f'(a)=f(b)=0$，$|f'''(x)|\leq M$ 在 $[a,b]$ 上恆成立，求證： $$ \left|\int_a^b f(x)\text dx\right|\leq\dfrac{M(b-a)^4}{72} $$

\(\rm Sol\quad\) 由多項式插值定理

\[\begin{aligned} f(x)=&f_2(x)+R_2(x)\\=&f_1(x)+f[a,b,a](x-a)(x-b)+\dfrac{f'''(\xi)}{6}(x-a)^2(x-b)\\ =&\dfrac{f'''(\xi)}{6}(x-a)^2(x-b) \end{aligned} \]

那麼

\[\begin{aligned} \left|\int_a^b f(x)\text dx\right|=&\left|\int_a^b \dfrac{f'''(\xi)}{6}(x-a)^2(x-b)\text dx\right|\\ \leq& \dfrac{M}{6}\left|\int_a^b (x-a)^2(x-b)\text dx\right|\\=& \dfrac{M(b-a)^4}{72} \end{aligned} \]