https://blog.csdn.net/left_la/article/details/6347373

感謝強大的google翻譯。

我從中認識到了航位推算dead reckoning，立方體樣條Cubic Splines 演算法。

我單獨查找了 Cubic Splines ，裡面的原理簡單說明：

Cubic Splines 認為在 x 在[a, b]區間中，y對應是一條平滑的曲線，所以 y = f(x); 的一階導函式和二階導函式是平滑連續可導的。

擬定用三次方程，所以得出了一般的三次方程和一階導數方程和二階導數方程。

然後求各個分部的解。

這是三次樣條的基本原理。

但文中最開始的連結中所得出的

x = At³

t是percent（0~1）區間值，如果還有三維向量，我理解是同樣的展開。

然後通過四個位置點來求出 A B C D … 各分部引數的值

A = x₃– 3x₂+3x₁– x₀
B = 3x₂– 6x₁+ 3x₀
C = 3x₁– 3x₀
D = x₀

E = y₃– 3y₂+3y₁– y₀
F = 3y₂– 6y₁+ 3y₀
G = 3y₁– 3y₀
H = y₀

…

相同分量展開。（如果有Z 分量的話）

學藝不精，無法從現有姿勢推出這個分量求解過程。

實時運動遊戲是通過預測其他玩家的位置來表現的，當伺服器有新的輸入的時候，本地玩家會發現其他玩家位置或狀態發生一次跳變（瞬移）。

有兩種思路，

一、預測未來

1. 通過當前位置和速度，通過預測未來精度（1s或者0.5s）推測出未來位置.
2. 得出公式引數，通過dt來平滑當前運動軌跡。

二、延遲渲染

1. 通過延遲渲染引數（延遲1s，0.5s來）來獲得其他玩家的過去狀態位置。
2. 得出公式引數，通過dt來平滑運動軌跡。

上述兩種方案

1. 如果引數一致，速度不改，則運動軌跡跟預測一致，如果玩家輸入多變，則永遠不會是真實的位置。
2. 看到的玩家的過去位置，移動軌跡跟目標玩家運動軌跡基本保持一致。

https://gist.github.com/svdamani/1015c5c4b673c3297309#file-spline-c-L26

 1 /*
 
* Numerical Analysis 9th ed - Burden, Faires (Ch. 3 Natural Cubic Spline, Pg. 149) */
 2 #include <stdio.h>
 3 
 4 int main() {
 5     /** Step 0 */
 6     int n, i, j;
 7     scanf("%d", &n);
 8     n--;
 9     float x[n + 1], a[n + 1], h[n], A[n], l[n + 1],
10         u[n + 1], z[n + 1], c[n + 1], b[n], d[n];
11     for (i = 0; i < n + 1; ++i) scanf("%f", &x[i]);
12     for (i = 0; i < n + 1; ++i) scanf("%f", &a[i]);
13 
14     /** Step 1 */
15     for (i = 0; i <= n - 1; ++i) h[i] = x[i + 1] - x[i];
16 
17     /** Step 2 */
18     for (i = 1; i <= n - 1; ++i)
19         A[i] = 3 * (a[i + 1] - a[i]) / h[i] - 3 * (a[i] - a[i - 1]) / h[i - 1];
20 
21     /** Step 3 */
22     l[0] = 1;
23     u[0] = 0;
24     z[0] = 0;
25 
26     /** Step 4 */
27     for (i = 1; i <= n - 1; ++i) {
28         l[i] = 2 * (x[i + 1] - x[i - 1]) - h[i - 1] * u[i - 1];
29         u[i] = h[i] / l[i];
30         z[i] = (A[i] - h[i - 1] * z[i - 1]) / l[i];
31     }
32 
33     /** Step 5 */
34     l[n] = 1;
35     z[n] = 0;
36     c[n] = 0;
37 
38     /** Step 6 */
39     for (j = n - 1; j >= 0; --j) {
40         c[j] = z[j] - u[j] * c[j + 1];
41         b[j] = (a[j + 1] - a[j]) / h[j] - h[j] * (c[j + 1] + 2 * c[j]) / 3;
42         d[j] = (c[j + 1] - c[j]) / (3 * h[j]);
43     }
44 
45     /** Step 7 */
46     printf("%2s %8s %8s %8s %8s\n", "i", "ai", "bi", "ci", "di");
47     for (i = 0; i < n; ++i)
48         printf("%2d %8.2f %8.2f %8.2f %8.2f\n", i, a[i], b[i], c[i], d[i]);
49     return 0;
50 }

這個上面根據 https://fac.ksu.edu.sa/sites/default/files/numerical_analysis_9th.pdf#page=167

實現了對應 x 求 y 的函式，這裡x可以替換成 時間t，分別求 t 跟x 、y、z的abcd引數，最終求出s(t)函式。

INPUT

n; x0, x1, ... , xn;

a0 = f (x0), a1 = f (x1), ... , an = f (xn).

OUTPUT aj, bj, cj, dj for j = 0, 1, ... , n − 1.

(Note: S(x) = Sj(x) = aj + bj(x − xj) + cj(x − xj)2 + dj(x − xj)3 for xj ≤ x ≤ xj+1.).

最後通過x在哪個區間呼叫某個區間的 S(x) 函式。注意S(x)函式是一組函式，x多區間。

（或許上面兩個文章介紹的其實不是一種演算法 0.0）