例 1. \(\text{CF582D Number of Binominal Coefficients}\)

不妨將 \(n,k\) 換一個形式：求滿足 \(0 \le a+b \le A\) 且 \(p^{\alpha}\mid \binom{a+b}{a}\) 的數對 \((a,b)\) 的個數。事實上我們有

\(\text{Kummer Theorem}\)：\(\binom{a+b}{a}\) 所包含的 \(p\) 的冪次數為 \(a+b\) 在 \(p\) 進位制下的進位次數。

首先由勒讓德定理，可以知道\(\binom{a+b}{a}\) 所包含的 \(p\) 的冪次數為

事實上，\(\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor\)

具體 \(\mathtt{dp}\) 過程戳這：\(\rm Link.\)

例 2. \(\text{[agc028D] Chords}\)

維護一個擁有多個連通塊的狀態是不易的，所以我們考慮列舉連通塊，再統計此連通塊出現的次數。

這好像還是不好做，圓上的問題考慮破環為鏈，不妨考慮區間 \(\mathtt{dp}\)，用 \([l,r]\) 表示最左點為 \(l\)，最右點為 \(r\) 的連通塊，我們發現這可以完美地將連通塊內的邊的端點限制在 \([l,r]\) 之中！這是因為即使點 \(x\) 不屬於 \(l,r\) 所在的連通塊，這條邊也會使得 \(l,r,x\) 連通，從而不滿足 "最左點為 \(l\)，最右點為 \(r\)" 的條件。這也是區間 \(\mathtt{dp}\) 的基礎。

記輔助陣列 \(c(l,r)\) 為區間 \([l,r]\) 中未被連邊的點數，\(f(x)\) 為 \(x\) 個點任意連邊的方案數，那麼轉移有

就是一個容斥。需要注意的是，當 \(c(l,r)\) 為奇數時，內部顯然無法兩兩配對，此時的 \(f\) 值應為零。