A note on the calculation of some functions in finite fields: Tricks of the Trade解讀
本節對該paper進行解讀，記錄筆記。
經常見到的是在素域\(F_p\)上計算的，尤其是雙線性對出現後，在擴域\(F_{p^m}\)上計效率就需要優化了。該論文主要總結了一些在有限域上進行某些計算（求模逆，hash到curve的轉換演算法，求模平方根等）的技巧。
素域
模冪（modular exponentiation）
模冪運算則是指先進行冪運算，在進行模運算，即\(X^N(mod p)\)
這樣對於較小的\(N\)，一般這樣計算：
方法1
（1）根據運算規則\(ab(mod p)=((a mod p)b) mod p\) ，我們知道\(3333^{5555}（mod10）= 3^{5555}（mod10）\)
（2）根據運算規則\((a*b)modp=(amodp*bmodp)modp\)，由於\(5555 = 4 * 1388 + 3\)，我們得到 \[3^{5555}（mod10）=（3^{(4*1388)} * 3^3)(mod10)=((3^{(4*1388)}(mod10)* 3^3(mod10))(mod10)=(1 * 7)(mod10)= 7 \]
計算完畢。
利用這些規則我們可以有效地計算\(X^N(mod P)\)。簡單的演算法是將result初始化為1，然後重複將result乘以X，每次乘法之後應用mod運算子（這樣使得result的值變小，以免溢位），執行N次相乘後，result就是我們要找的答案。
當N的值很大時，上面的方法需要計算很長時間，是不切實際的，一般用一下方法：
方法2
（1）如果N是偶數，那麼\(X^N =（X*X）^{[N/2]}\)；
（2）如果N是奇數，那麼\(X^N = X*X^{(N-1)} = X *（X*X）^{[N/2]}\)；
其中\([N]\)是指小於或等於\(N\)的最大整數。
（3）程式
// 函式功能：利用模運算規則，採用遞迴方式，計算X^N(% P) // 函式名：PowerMod // 輸入值：unsigned int x，底數x // unsigned int n，指數n // unsigned int p，模p // 返回值：unsigned int，X^N(% P)的結果 unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p) { if (n ==0) { return1; } unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //遞迴計算（X*X）^[N/2] if ((n &1) !=0) //判斷n的奇偶性 { temp = (temp * x) % p; } return temp; }
求模逆（Modular inversion）
意思是：對於\(ax+bp=gcd(x,p)=1\)，給出\(x,p\)，求\(a,b\)。簡單點說，就是在模\(p\)下，求\(x\)的乘法逆元\(a\)。
給出三種方法
方法1:擴充套件歐幾里得（ extended Euclidean algorithm）
參考：求逆元
該方法的複雜度為\(O(m^2)\)，其中\(m\)是\(p\)的bit數。
方法2:費馬小定理（ Fermat’s Little Theorem）
\(a=x^{p-2}(mod p)\)
具體請參考：求逆元
該方法基於模冪運算，複雜度為\(O(m^3)\)，可以在確定時間內完成。
速度慢，更簡單，更安全！
方法3
\(ax=1(mod p)\)，即\(a=1/x(mod p)\)
該方法速度很快，但很難在確定時間內完成。
使用技巧
比如要分別求\(1/x(mod p)\)和\(1/y(mod p)\)，可以將求兩個模逆轉換為求一個模逆，即求\(1/xy(mod p)\)，對於\(y/xy(mod p)\)和\(x/xy(mod p)\)，
二次剩餘（Quadratic residuosity）
也叫做“平方剩餘”，是一個數學概念，具體指：
Legendre symbol
模平方根（Modular square roots）
就是如何計算二次剩餘中的平方根\(x\)
使用Tonelli-Shanks方法計算：
其中\(2^e | (p-1)\)
可逆平方根（inverse square root）
即計算開方的倒數計算：\((\sqrt{x})^{-1}(mod p)\)