求收斂域

對於一個冪級數f(n)，R即是其收斂半徑，R的公式如下

\[p=\frac{f(n+1)}{f(n)} \qquad R=\frac{1}{p} \]

因為P有無窮、0、常數三種情況，因此R也有三種情況。

求收斂域要考慮x在邊界\(x=\pm R\)的情況，將x帶入進f(n)，根據是否發散可判斷開閉區間

求和函式

我們只能求形如\(f(x)=x^n\)形式的和函式，它是一個等比數列，它的和函式就是等比數列求和公式：\(S(x)=\frac{a}{1-q}\)其中，a是首項，q是公比

在習題中，往往需要我們通過求導或求積分，將題目中給的函式轉化為一個等比函式，然後我們通過等比求和公式，求出轉化後的函式的和函式，再回溯求導或求積分

，就可得原函式的和函式

例如，求下列式子的和函式

\[\sum_{i=0}^{\infty}(n+1)x^n \]

通過觀察發現，該式子可通過求積分轉化為\(x^n\)形式

這裡積分上限x與f(x)中的x並非同一個x，求的時候可以將f(x)當成f(t)，帶入積分上限x計算積分

\[\int_{0}^{x}\sum_{0}^{\infty}(n+1)x^n=\sum_{i=0}^{\infty}\int_{0}^{x}(n+1)x^n=\sum_{i=0}^{\infty}x^{n+1} \]

再等比求和，因為首項是x、公比為x，因此得

\[\sum_{i=0}^{\infty}x^{n+1}=\frac{x}{1-x} \]

因為這是我們求積分後得到的和函式、所以再將其求導

，最終答案：

\[\sum_{i=0}^{\infty}(n+1)x^n=(\frac{x}{1-x})^{'}=\frac{1}{1-x^2} \]