[LeetCode] 1103. Distribute Candies to People
1. 整除
1.1 定義
若 \(a,b\in \mathbb Z\) 且存在 \(q\in \mathbb Z\) 使得 \(b=aq\),則稱 \(a\) 整除 \(b\),記做 \(a\mid b\)。\(a\) 不整除 \(b\) 記做 \(a\nmid b\)
若 \(a,b\in \mathbb Z\) 且 \(a\mid b\),則我們稱 \(a\) 是 \(b\) 的約數/因數/因子,\(b\) 是 \(a\) 的倍數。
1.2 性質
- \(a\mid b,b\mid c\Rightarrow a\mid c\)(傳遞性)。
- \(a\mid b,a\mid c\Leftrightarrow \forall x,y\in \mathbb Z,a\mid bx+cy\)
證明:
- 因 \(a\mid b\),則存在 \(q_1\in \mathbb Z\) 使得 \(aq_1=b\)(定義),同理存在 \(q_2\) 使得 \(bq_2=c\),代入得 \(aq_1q_2=c\),即得 \(a\mid c\)。
- 先證引理
引理 1:\(a\mid b\Rightarrow a\mid bx\)
證明:由定義得存在 \(q\in \mathbb Z\) 使得 \(aq=b\),代入,\(a\mid aqx\),證畢。
引理 2:\(a\mid b\Rightarrow \forall x\in \mathbb Z,a\mid b+xa\)。
證明:由定義得存在 \(q\in \mathbb Z\)
有了引理,命題就很顯然了,先用1
再用2
就證出來了。
1.3 拓展
1.3.1 素數
1.3.1.1 定義
若一個正整數 \(q\) 只有 \(1\) 和 \(q\) 兩個因子,則稱 \(q\) 為素數(Prime)。
1.3.1.2 分解質因數/分解素因子
算術基本定理:對於所有 \(a\in \mathbb N^+\),\(a\) 均可被唯一的分解為 \(a=\sum\limits_{i=1}^O p_i^{r_i}\)
1.3.2 GCD & LCM
1.3.2.1 定義
若 \(a_1,a_2\) 是兩個不全為 \(0\) 的整數,若 \(d\mid a_1\) 且 \(d\mid a_2\),我們則稱 \(d\) 為 \(a,b\) 的公約數,我們將最大的 \(d\) 稱為 \(a_1,a_2\) 的最大公約數(GCD),數學上一般記做 \((a_1,a_2)\),OI 裡一般記做 \(\gcd(a_1,a_2)\)。
若 \(\gcd(a_1,a_2)=1\),則稱 \(a_1,a_2\) 互素/互質。
若 \(a_1,a_2\) 是兩個不全為 \(0\) 的整數,若 \(a_1\mid l\) 且 \(a_2\mid l\),我們則稱 \(l\) 為 \(a,b\) 的公倍數,我們將最小的 \(l\) 稱為 \(a_1,a_2\) 的最小公倍數(LCM),數學上一般記做 \([a_1,a_2]\),OI 裡一般記做 \(\operatorname{lcm}(a_1,a_2)\)。