離散化

特指整數離散化，有序、保序離散化。

vector<int> alls;	// 儲存所有待離散化的值
sort(alls.begin(), alls.end());	// 將所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end(), alls.end()));	// 去掉重複元素

// 二分求出x對應的離散化的值
int find(int x) {
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1;
}
 

為什麼需要離散化？

一組數，每個數的大小範圍在 -1e9 到 +1e9 之間。

但是這些數很稀疏，在進行求這些數的和的操作時不可能遍歷所有的區間。

故而要使用離散化，將其對映到連續的陣列空間中。

例題

演算法

• 因為存在n次新增操作、2n次(l，r)查詢操作，在最壞的情況下他們都各不相同，故而構成對映的陣列空間是3 * 1e5 + 10 這麼大。
• 利用 pair<int,int> 儲存新增和查詢對。
• 第一步先將所有的數存入動態陣列空間（包括儲存的 x 和查詢的左右端點 l , r），進行排序、去重。
• 再將其值進行離散化查詢，通過二分查詢，找到其在陣列中的下標。
• 通過下標和其值，插入到建立好的陣列空間，求其字首和
• 通過字首和： arr[r] - arr[l - 1]得到區間和

C++實現

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;

int n, m;
int a[N], s[N];

vector<int> alls;
vector<PII> add, query;

int find (int x) {
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }

    return r + 1;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});

        alls.push_back(x);
    }

    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});

        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }

    // 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

    // 處理插入
    for (auto item : add) {
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;
    }

    // 預處理字首和
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];

    // 處理詢問
    for (auto item : query) {
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

    return 0;

}