筆記-拉格朗日乘數法
阿新 • • 發佈：2022-06-06
前言
正文
拉格朗日乘數法
求多元函式 \(F\) 的極值。滿足 \(\varphi=0\)。再引入一個變數 \(\lambda\)然後令 \(F'=F+\lambda\varphi\)。然後對它的每個元素求偏導，並令其為 \(0\)。解出來的值即為極值。
但是這並不能求最小和最大，還要討論一下。
正確性：對 \(\lambda\) 求偏導就可以得到約束條件，然後 \(\lambda\) 的值不會影響函式值。
證明什麼的就百度一下吧。
- 一個具體的例子
\(\text{AB}=2\)。
這是我的一道思博數學作業，顯然 \(C\) 在以原點為中心，半徑為 \(2\) 的圓上。然後就做完了。
我們考慮用代數去解決它：
設 \(A(x,0),B(0,y),C(\frac{x}{2},\frac{y}{2})\)。
\[\begin{aligned} F(x, y)=(6-\frac{x}{2})^2+(8-\frac{y}{2})^2\\ \varphi(x,y)=x^2+y^2-4\\ ans=\sqrt {F(x,y)}\\ F(x,y,\lambda)=(6-\frac{x}{2})^2+(8-\frac{y}{2})^2+\lambda(x^2+y^2-4) \end{aligned} \]然後你對其每一項求偏導，並令其為 \(0\)。
\[\begin{cases} \frac{x}{2}+\lambda x=6\\ \frac{y}{2}+\lambda y=8\\ x^2+y^2=4\\ \end{cases} \]然後解就好了，最後答案是 \(9\)
OI 一點的應用
【LG2179】