[OI筆記]利用拉格朗日乘數法求函式的最值

阿新 • • 發佈：2020-08-29

$about$

為什麼寫這篇$Blog$呢$...$

拉格朗日乘數法在今天訓練的一道題上用到了$,$當場$wyj/pcf/csl$都正確的推出了式子$.$

但我卻只會暴力$DP.$雖然也過了題但是多用了$2k-3k$的程式碼量$.$

但是賽後一看他們的$1k$左右的程式碼$,$人都傻了$.$

去網上搜了一下這種做法$,$自己推這題的時候偏導還求錯了$/kk,$最後在$pcf$的提示下才發現$/kk.$

所以今天來補一補數學知識$T$ _ $T$

正文

拉格朗日乘數法$,$

求一個多元函式$z = F(x,y)$在滿足$φ(x,y) = 0$

的條件極值$.$

$($ 由於筆者比較菜$,$而且不等式約束在$OI$中基本不會用拉格朗日乘數法來解決 $($ 因為可以線性規劃$,$但那就和本文的主題無關了 $)$ $,$所以本文中不講不等式約束的解法$.$ $)$

可以轉化為$,$函式$F(x,y,λ) = F(x,y) + λφ(x,y)$的無條件極值$.$

無條件極值的求法$?$

對$F(x,y,λ)$每個變數$($ 即 $x,y,$和$λ)$都求一次偏導$,$然後令求出來的式子$=0$即可$.$

至於正確性$……$

正確性 $ : $ 對$λ$

求偏導就可以得到約束條件$,$然後$λ$的值不會影響函式值

具體的證明我不會$,$大概是隱函式什麼的$?$

這裡有兩個連結以供參考$:$ Link1 Link2

實際上這種方法只能求出極值$,$並不能知道求出來的是極小值還是極大值$,$只有算出來之後才會知道

理論的內容就這麼多吧$.$

因為我不太會打$\LaTeX$的式子$,$所以就不放一些奇怪的很難打的式子$,$而用文字表述了$.$

批註：OI裡的函式基本上都很平滑，所以亂搞也沒關係的（

$An$ $Easy$ $Example$

求反比例函式$y = \frac{1}{x}$

上距離原點最近的點$.$

即最小化$F(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2},$滿足約束$φ(x,y) = xy-1 = 0$

為了簡化問題$,$我們把$F(x,y)$ 變成 $F^2(x,y),$

這樣問題要最小化的東西還是沒變$,$而且$F(x,y) = x^2+y^2$方便求偏導$.$

$F(x,y,λ) = F(x,y) + λφ(x,y)$ $ = x^2+y^2+λ(xy-1)$

對$x$求偏導得到$:$ $2x + λy = 0$

對$y$求偏導得到$:$ $2y + λx = 0$

對$λ$求偏導得到$:$ $xy - 1 = 0$

最後解得 $\begin{cases}x=1\\y=1\\λ=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-1\\y=-1\\λ=2\end{cases}$

$A$ $harder$ $case:$ 一道$OI$題

給你$n(n \leq 8)$個點$,$你可以任意放置這些點$,$但需要保證每個點離原點的距離為$r_i.$

求這些點組成的點集中$,$凸包的最大面積$.$

$solution :$

列舉凸包上的點集和點的排列方式$.$

現在我們令凸包上的點數為$k$,且這些點到原點的距離分別為$r_1,r_2,...r_k$

令$θ_i$表示兩條相鄰的邊$r_i$ 和 $r_{i\mod k + 1}$之間的夾角

由於三角形的面積$S = \frac{1}{2}absin(θ),$並且所有$θ$的和一定是$2π,$所以

答案即目標函式$F = r_1r_2sin(θ_1)+r_2r_3sin(θ_2)+...+ r_kr_1sin(θ_k).$

限制條件$φ = 2π - \sum\limits_{i=1}^{k} θ_i.$

$F - λφ = \sum\limits_{i=1}^{k}r_ir_{i\mod k+1}sin(θ_i)$ $+$ $λ(2π -\sum\limits_{i=1}^{k}θ_i)$

對$θ_i$求偏導得$:$ $r_ir_{i\mod k+1}cos(θ_i)=λ$

對$λ$求偏導得$:$ $2π -\sum\limits_{i=1}^{k}θ_i = 0$

這個並不能讓我們直接解出所有的$θ_i$和$λ.$

注意到$θ_i = arccos(\frac{λ}{r_ir_{i\mod k+1}}),$所以在$r_i$已經確定的情況下$,$ $θ_i$是隨$λ$單調遞增的$.$

所以我們可以二分$λ$並算出所有的$θ_i,$

進而求出$\sum\limits_{i=1}^{k}θ_i=2π$時候所有的$θ_i$的值$,$並計算答案$.$

那麼這道題就做完了$.$

時間複雜度$O(n!\times T),$其中$T$為每次求最值時的二分次數$.$

$Some$ $Problem(s)$

~~留作課後練習~~

$[NOI2012]$ 騎行川藏

還是推式子$…$

先留個坑$,$下次再補

$AC$程式碼(今天剛寫的):

#include <bits/stdc++.h>
#define db long double
using namespace std;
const int N = 10050;
int n; db E,s[N],k[N],v[N],x[N],ans = 1e6;
inline bool check(db w){
	db L,R,Mid,eps,sumE = 0,sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		if (v[i]<0) L = 0; else L = v[i];
		x[i] = -1,R = 1e18,eps = 1e-10;
		while (R - L >= eps){
			Mid = (L+R)/2;
			if (k[i] * Mid * Mid * (Mid - v[i]) <= w) x[i] = Mid,L = Mid; else R = Mid;
		}
		sumE += s[i] * k[i] * (x[i] - v[i]) * (x[i] - v[i]);
	}
	if (sumE > E) return 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) sum += s[i] / x[i];
	if (sum < ans) ans = sum;
	return 1;
}
int main(){
	int i;
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin >> n >> E;
	for (i = 1; i <= n; ++i) cin >> s[i] >> k[i] >> v[i];
	db L = 0,R = 1e18,Mid,eps = 1e-10;
	while (R - L >= eps){ Mid = (L+R)/2; if (check(Mid)) L = Mid; else R = Mid; }
	cout << fixed << setprecision(10) << ans << endl;
	return 0;
}

CF1344D Résumé Review

$F = \sum b_i(a_i-b_i^2) + λ(\sum b_i-k)$

對$b_i$求偏導得 $λ=a_i-3b_i^2$

然後考慮二分$λ,$但是因為有$b_i\leq a_i$ 的限制$,$所以我們算出來的$b_i$可能不合法$.$

不過不合法的部分排序後顯然是連續的一段$,$在外層再套一層二分即可$.$

然後求得了實數解$,$求整數解就是先令所有$b_i=\lfloor b_i \rfloor$ 然後再排序貪心$.$

$O(nlognlog(A_i))$

$code:$

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define LD long double
using namespace std;
template <typename T> void read(T &x){
	static char ch; x = 0,ch = getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0',ch = getchar();
}
inline void write(int x){if (x > 9) write(x/10); putchar(x%10+'0'); }
const int N = 100005;
LL n,k;
LL id[N],a[N]; LD b[N];
LL ans[N];
struct node{ int id; LL v; inline bool operator < (const node w) const{ return v < w.v; } }c[N]; 
int cnto;
inline int check(int p){
	LD L = -1e20,R = 1e20,Mid,kk = k,tot; int i; bool ok = 0;
	for (i = 1; i <= p; ++i) kk -= a[i];
	for (i = p+1; i <= n; ++i) L = max(L,(LD)a[i] - 3 * a[i] * a[i]),R = min(R,(LD)a[i]);
	while (R-L>1){
		Mid = (L+R)/2;
		tot = 0;
		for (i = p+1; i <= n; ++i) b[i] = sqrt((a[i]-Mid)/3),tot += b[i];
		if (tot >= kk) ok = 1,L = Mid; else R = Mid;
	}
	for (i = p+1; i <= n; ++i) b[i] = sqrt((a[i]-L)/3);
	return ok;
}
int main(){
	int i;
	read(n),read(k);
	for (i = 1; i <= n; ++i) read(c[i].v),c[i].id = i;
	sort(c+1,c+n+1);
	for (i = 1; i <= n; ++i) id[i] = c[i].id,a[i] = c[i].v;
	int L = 0,R = n,Mid,Ans = 0;
	while (L <= R){
		Mid = L+R>>1;
		for (i = 1; i <= Mid; ++i) b[i] = a[i];
		if (check(Mid)) Ans = Mid,R = Mid - 1;
		else L = Mid + 1;
	}
	for (i = 1; i <= Ans; ++i) b[i] = a[i];
	check(Ans);
	for (i = 1; i <= n; ++i) b[i] = floor(b[i]),k -= b[i];
	for (i = 1; i <= n; ++i) if (b[i] < a[i]){
		++cnto;
		c[cnto].id = i,c[cnto].v = a[i] - 3 * b[i] * b[i] - 3 * b[i];
	}
	sort(c+1,c+cnto+1);
	reverse(c+1,c+cnto+1);
	for (i = 1; i <= k; ++i) b[c[i].id] += 1;
	for (i = 1; i <= n; ++i) ans[id[i]] = b[i];
	for (i = 1; i <= n; ++i) write(ans[i]),putchar(i<n?' ':'\n');
	return 0;
}