二進位制數的高精度運算

阿新 • • 發佈：2022-11-29

我們知道，一個int型整數一般用32位二進位制數儲存，所表示的最大整數值為 2³¹-1，對應1個10位的十進位制整數。因此，一個更大的整數可能需要更多的二進位制位來儲存，在處理時需要對其進行高精度運算處理。

【例1】二進位制加法

問題描述

二進位制數相加與十進位制數的長加非常相似。與十進位制數字一樣，從右到左，一次一列地進行各位對應數字的相加。與十進位制加法不同，二進位制位加法的進位規則是“逢二進一”。

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

1 + 1 + 1 = 11

輸入

第一行輸入是整數N（1≤ N≤ 1000），表示測試用例的組數。之後N行，每行是一組測試用例，其中包含兩個由單個空格字元分隔的二進位制值。每個二進位制值的最大長度為80位（二進位制數字）。注：最大長度結果可能是81位（二進位制數字）。

輸出

對於每組測試用例，在一行中輸出測試用例編號、空格和加法的二進位制結果。必須省略額外的前導零。

輸入樣例

1001101 10010

1001001 11001

1000111 1010110

輸出樣例

1 1011111

2 1100010

3 10011101

（1）程式設計思路。

將二進位制數用字串儲存，編寫函式void binAdd(char *a,char *b,char *c)，完成二進位制數C=A+B這一功能。在函式中，先將字串表示的二進位制數A和B分別轉換到整型陣列X和Y中，轉換時注意二進位制字串的最低位（如a[0]）對應到陣列X的最高位（如x[strlen(a)-1]），二進位制字串的最高位（如a[strlen(a)-1]）對應到陣列X的最低位（如x[0]）。然後將陣列X和Y從下標0開始（也是二進位制數的個位），逐位對應相加，逢二進一。

（2）源程式。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
void binAdd(char *a,char *b,char *c)
{
    int len1=strlen(a),len2=strlen(b);
    int x[91],y[91],z[91];
    int len=len1>len2?len1:len2;
    memset(x,0,sizeof(x));
    memset(y,0,sizeof(y));
    memset(z,0,sizeof(z));
    int i;
     
for (i=len1-1;i>=0;i--)
        x[len1-1-i]=a[i]-'0';
    for (i=len2-1;i>=0;i--)
        y[len2-1-i]=b[i]-'0';
    int cf=0;
    for (i=0;i<len;i++)
    {
        z[i]=(x[i]+y[i]+cf)%2;
        cf=(x[i]+y[i]+cf)/2;
    }
    z[len++]=cf;
    while (len>=0 && z[len-1]==0)  // 去前置0
        len--;
    if (len==0)                    // a+b=0時特判
    {
        c[0]='0';
        c[1]='\0';
        return ;
    }
    for (i=0;i<len;i++)
        c[i]=z[len-1-i]+'0';
    c[len]='\0';
}
int main()
{
    char s1[91],s2[91],ans[91];
    int n,i;
    scanf("%d",&n);
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s%s",s1,s2);
        binAdd(s1,s2,ans);
        printf("%d %s\n",i,ans);
    }
    return 0;
}

將上面的源程式提交給北大POJ題庫 POJ 2845 01000001（http://poj.org/problem?id=2845），可以Accepted。

【例2】最大公約數

問題描述

給出兩個二進位制數A和B，求它們的最大公約數。

輸入

輸入的第一行是T（1≤ T≤ 100），代表需要解決的測試用例數。

之後T行，每行包含兩個二進位制數A和B。（0< A，B ≤ 2¹⁰⁰⁰)

輸出

對於每個測試用例，輸出A和B的最大公約數，這個最大公約數也以二進位制數顯示。

輸入樣例

10 100

100 110

10010 1100

輸出樣例

Case #1: 10

Case #2: 10

Case #3: 110

（1）程式設計思路。

設gcd(a,b) 表示求兩個二進位制數的最大公約數。有

（1）若a，b都為偶數，則 gcd(a,b) = 2*gcd(a/2,b/2)。

（2）若 a為偶數，b為奇數，則 gcd(a,b) = gcd(a/2,b)。

（3）若 a,b 都為奇數（設a大於等於b），則 gcd(a,b) = gcd((a-b),b)。

按照這種思路直接求兩個二進位制數的最大公約數就比較簡單了。主要涉及二進位制的相減運算（a-b），相減時總是大數減小數（即a>b）；二進位制數除以2，這個操作比較簡單，直接去掉個位數即可，也就是刪除bit陣列中的bit[0]元素，同時len減1。

定義結構體型別

struct BigNumber

{

int len; // 儲存二進位制數的位數

int bit[1005]; // 儲存各位的數字，每個陣列元素儲存二進位制數的1位數，其中bit[0]儲存二進位制數的個位數。

}; 的變數來儲存二進位制數。

同時定義4個函式，分別實現兩個二進位制數的大小比較、兩個二進位制數相減、一個二進位制數除以2、求兩個二進位制數的最大公約數等功能。

（2）源程式。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
struct BigNumber
{
   int len;
   int bit[1005];
};
int compare(struct BigNumber n1,struct BigNumber n2)     // 比較兩個大數的大小，n1小於n2則返回1
{
    if (n1.len<n2.len)  return 1;
    if (n1.len>n2.len)  return 0;
    int i;
    for (i=n1.len-1;i>=0;i--)
    {
       if (n1.bit[i]<n2.bit[i])  return 1;
       if (n1.bit[i]>n2.bit[i])  return 0;
    }
    return 0;
}
struct BigNumber minus(struct BigNumber n1,struct BigNumber n2)  // 大數n1 - n2
{
    struct BigNumber ret;
    int i;
    ret=n1;
    for (i=0;i<n2.len;i++)
    {
        ret.bit[i]=ret.bit[i]-n2.bit[i];
        if (ret.bit[i]<0)
        {
            ret.bit[i+1]--;                       // 向前一位借1當2
            ret.bit[i]+=2;
        }
    }
    for (;i<ret.len;i++)                          // 處理n1比n2多出的高位
    {
       if (ret.bit[i]>=0)                         // 向更高位不再有借位
            break;
       else
       {
            ret.bit[i+1]--;                       // 向前一位借1當2
            ret.bit[i]+=2;
       }
    }
    while (ret.len>=1 && !ret.bit[ret.len-1])     // 去掉前導0
       ret.len--;
    return ret;
}
struct BigNumber div2(struct BigNumber n)         // 大數n除以2
{
    struct BigNumber ret;
    ret.len=n.len-1;
    int i;
    for (i=0;i<ret.len;i++)                       // 去掉最末位的0即可
       ret.bit[i]=n.bit[i+1];
    return ret;
}
void gcd(struct BigNumber n1,struct BigNumber n2) // 求n1和n2的最大公約數並輸出
{
    int b=0,i;
    while (n1.len && n2.len)
    {
       if (n1.bit[0])
       {
          if(n2.bit[0])     // n1、n2均為奇數，gcd(n1,n2)=gcd((n2-n1),n1) （設n2大於等於n1）
          {
             if (compare(n1,n2))
                n2=minus(n2,n1);
             else
                n1=minus(n1,n2);
          }
          else              // n2為偶數，n1為奇數。gcd(n1,n2)=gcd(n1,n2/2)
             n2=div2(n2);
       }
       else
       {
          if(n2.bit[0])     // n1為偶數，n2為奇數。gcd(n1,n2)=gcd(n1/2,n2)
             n1=div2(n1);
          else              // n1、n2都為偶數。gcd(n1,n2)=2*gcd(n1/2,n2/2)
          {
             n1=div2(n1);
             n2=div2(n2);
             b++;
          }
       }
    }
    if (n2.len)
       for (i=n2.len-1;i>=0;i--)
           printf("%d",n2.bit[i]);
    else
       for (i=n1.len-1;i>=0;i--)
           printf("%d",n1.bit[i]);
    while (b--)
       printf("0");
    printf("\n");
}
int main()
{
    int t,iCase=0;
    struct BigNumber n1,n2;
    char str1[1005],str2[1005];
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        scanf("%s%s",str1,str2);
        int i;
        n1.len=strlen(str1);
        for (i=0;i<n1.len;i++)    // 二進位制字串的str1[0]是二進位制數的最高位，二者是逆序的
           n1.bit[i]=str1[n1.len-1-i]-'0';
        n2.len=strlen(str2);
        for (i=0;i<n2.len;i++)
           n2.bit[i]=str2[n2.len-1-i]-'0';
        printf("Case #%d: ",++iCase);
        gcd(n1,n2);
    }
    return 0;
}

將上面的源程式提交給 HDU題庫 HDU 5050 Divided Land（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5050），可以Accepted。

【例3】N!

問題描述

表示式N！，讀作N的階乘，表示前N個正整數的乘積。如果N的階乘是十六進位制的，沒有前導零，你能告訴我們其中有多少個零嗎？例如，15！=（13077775800）16，其中有3個零。

輸入

輸入包含幾個測試用例。每個測試用例有一行，包含非負十進位制整數N（N≤ 100)。你需要計算N！對應的十六進位制數中的零的個數。負數終止輸入。

輸出

對於每個非負整數N，輸出一行正好包含一個整數，為N！中的零的個數。

輸入樣例

-1

輸出樣例

（1）程式設計思路。

當N值較大時，N!的一個很大的數。為此定義結構體型別

struct BigNumber

{

int len; // 儲存十六進位制數的位數

int bit[1005]; // 儲存各位的數字，每個陣列元素儲存十六進位制數的1位數，其中bit[0]儲存十六進位制數的個位數。

};

的變數來儲存N!的十六進位制結果。

編寫一個函式 struct BigNumber mul(struct BigNumber a,int b)完成十六進位制整數a與十進位制整數b相乘，結果是一個十六進位制數並作為函式值返回，在函式中，將bit陣列中儲存的len位數字從下標0開始，逐位與int型整數b相乘，在相乘的過程中對乘積進行逢十六進一即可。

（2）源程式。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
struct BigNumber
{
   int len;
   int num[205];
};
struct BigNumber mul(struct BigNumber a,int b)  // 十六進位制整數a與十進位制整數b相乘
{
    struct BigNumber ret;
    memset(ret.num,0,sizeof(ret.num));
    int i;
    for (i=0;i<a.len;i++)
    {
        ret.num[i]=ret.num[i]+a.num[i]*b;
        ret.num[i+1]=ret.num[i]/16;   // 向前進位
        ret.num[i]%=16;
    }
    i=a.len;
    while (ret.num[i]!=0)             // 高位繼續向前進位
    {
        ret.num[i+1]=ret.num[i]/16;
        ret.num[i]%=16;
        i++;
    }
    ret.len=i;
    return ret;
}
int main()
{
    struct BigNumber fact[101];
    fact[1].len=1;
    fact[1].num[0]=1;
    int i,j;
    for (i=2;i<=100;i++)
        fact[i]=mul(fact[i-1],i);
    int ans[101]={0,0};
    for (i=2;i<=100;i++)
    {
        int cnt=0;
        for (j=fact[i].len-1;j>=0;j--)
            if (fact[i].num[j]==0) cnt++;
        ans[i]=cnt;
    }
    int n;
    while (scanf("%d",&n) && n>=0)
    {
        printf("%d\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}

將上面的源程式提交給 HDU題庫 HDU 2940 Hex Factorial（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2940），可以Accepted。

【例4】進位制轉換

問題描述

編寫一個程式，將一個基數的數字轉換為另一個基數。有62個不同的數字：｛0-9，A-Z，a-z｝

輸入

第一行輸入包含一個正整數N，表示測試用例的組數。之後N行，每一行將有一個十進位制整數表示的輸入基數，後跟一個十進位制整數表示的輸出基數，再跟一個以輸入基數表示的數字。輸入基數和輸出基數都將在2到62的範圍內。A=10，B=11，…，Z=35，a=36，b=37，…，z=61（0-9有其通常的含義）。

輸出

程式的輸出應包括每執行一次基本轉換的三行輸出。第一行應該是十進位制的輸入基數，後跟空格，然後是輸入數字（以輸入基數表示）。第二行應該是輸出基數，後跟一個空格，然後是輸出數字（以輸出基數表示）。第三輸出行為空。

輸入樣例

62 2 abcdefghiz

10 16 1234567890123456789012345678901234567890

16 35 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2

35 23 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A

23 49 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05

49 61 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj

61 5 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S

5 10 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030

輸出樣例

62 abcdefghiz

2 11011100000100010111110010010110011111001001100011010010001

10 1234567890123456789012345678901234567890

16 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2

35 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A

23 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05

49 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj

61 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S

5 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030

10 1234567890123456789012345678901234567890

（1）程式設計思路。

一般不同進位制轉換是以10進製為中介進行轉換，但若轉換的數較大的話，複雜度較高。可以採用短除法直接將A進位制數x直接轉化為B進位制數y，其基本原理是將x每次除以B，得到的餘數的逆序列是就B進製表示的結果。每次除的時候，從最高位開始除，商作為x當前位的值儲存，得到的餘數乘以A加到下一位，一直到最低位。最後得到的餘數作為B進位制數y的某位儲存。重複這一過程，直到A進位制數x為0。

用一個例子簡單說明：將十六進位制數6E轉換為八進位制數。

為方便說明，設用陣列x儲存十六進位制的各位數字，用陣列y儲存轉換後得到的八進位制各位數字。

首先將表示十六值數6E的字串轉換為x中儲存的各位整數。轉換後 x[0]=14，x[1]=6。

從高位開始除，x[1]=6， 6/8商為0，餘數為6，將商儲存到當前位x[1]中，x[1]=0，將餘數 6*16加到下一位x[0]中，x[0]=14+6*16=110。

再接著進行下一位的除法。 X[0]=110，110/8商為13，餘數為6，將商儲存到當前位x[0]中，x[0]=13，因為這是最低位（個位），一次除法結束，餘數6作為轉換後八進位制數的數字儲存到y陣列中，y[0]=6。

去掉x陣列的高位前導0後，x陣列中 x[0]=13。

X!=0，繼續重複上面的過程。x[0]=13，13/8商為1，餘數為5，將商儲存到當前位x[0]中，x[0]=1，同樣因為這是最低位（個位），一次除法結束，餘數作為轉換後八進位制數的數字儲存到y陣列中，y[1]=5。

X!=0，繼續重複上面的過程。x[0]=1， 1/8商為0，餘數為1，將商儲存到當前位x[0]中，x[0]=0，同樣因為這是最低位（個位），一次除法結束，餘數作為轉換後八進位制數的數字儲存到y陣列中，y[2]=1。

至此，X等於0，轉換結束。再將陣列y中儲存的數字按逆序的方式轉換為字串 156。也就是說，十六進位制數6E轉換為八進位制數為 156。

（2）源程式。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_LEN 600
void Base1toBase2(char a[],char b[],int base1,int base2)
{
    int num1[MAX_LEN],num2[MAX_LEN];
    int n,i,j,k;
    n = strlen(a);
    j = 0;
    for (i = n - 1;i >= 0 ; i --)
    {
        if (a[i]>='A' && a[i]<='Z')
            num1[j++]=a[i]-'A'+10;
        else if (a[i]>='a' && a[i]<='z')
            num1[j++]=a[i]-'a'+36;
        else 
            num1[j++]=a[i]-'0';
    }   
    k=0;
    while (n!=0)
    {
        for (i=n-1;i>0;i--)      // 短除法
        {
            num1[i-1]+=num1[i]%base2*base1;
            num1[i]/=base2;
        }
        num2[k++]=num1[0]%base2;
        num1[0]/=base2;
        while (n>0 && num1[n-1]==0) n--;
    }
    for (j=0,i=k-1;i>=0;i--)  
    {
        if (num2[i]<10)
            b[j++]=num2[i]+'0';
        else if (num2[i]<36)
            b[j++]=num2[i]-10+'A';
        else
            b[j++]=num2[i]-36+'a';
    }
    b[j]='\0';
}
int main()
{
    int t,base1,base2;
    char src[MAX_LEN],dest[MAX_LEN],tmp[MAX_LEN];
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d",&base1,&base2);
        scanf("%s",src);
        Base1toBase2(src,dest,base1,base2);
        printf("%d %s\n",base1,src);
        printf("%d %s\n\n",base2,dest);
    }
    return 0;
}

將上面的源程式提交給北大 POJ 題庫 POJ 1220 NUMBER BASE CONVERSION（http://poj.org/problem?id=1220），可以Accepted。

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