paper - 2015 - Evaluation of Visual Parameters in Volumetric Path Tracing(1)
paper - 2015 - Evaluation of Visual Parameters in Volumetric Path Tracing(1)
Skånberg, R., utfört, E., Jönsson, H.D., & Ropinski, E.T. (2015). Evaluation of Visual Parameters in Volumetric Path Tracing.
1. introduction
在互動式體積渲染領域，研究重點是使用巧妙的方法、近似和簡化來解決體積渲染方程，以提供互動式幀速率。為了評估所實施方法的準確性，需要將其與一些參考解決方案進行比較。求解方程的一種方法是使用一種稱為路徑跟蹤的方法，當正確實現時，該方法將提供真實結果的估計。這一估計在給定的計算時間內收斂到真實結果，並且在一般情況下是一個相當緩慢的過程，與任何互動式過程都相去甚遠
3 Physically based rendering
3.1 基本輻射計量學
flux：單位時間通過某個區域的所有能量，單位是W，或J/s
irradiance E & Radiant Exitance M: 單位面積單位時間的能量（面積為垂直於光線方向）,\(W/m^2\)
solid angle sr ：
Intensity I : 表示單位立體角，單位時間通過某個區域的所有能量，然而，該量僅用於指定點光源的光譜分佈；
Radiance L ：從某一個單位立體角看過去的單位面積單位時間上接收的能量，\(W/sr\)
3.3 The rendering equation
這個方程是遞迴的，並且描述了光離開點x'，到達另一個點x，自發光項，和x''到x'處的光對x‘x方向的貢獻在半球上的積分和，與幾何項g的乘積。（即，x''處發出的光有多少會沿著x'x傳輸，以及x'處發出的光有多少往x’x傳輸）。
但是，通常會使用radiance的表述方式，見方程2：
該模型的一個重要限制是，光在被真空隔開的平坦表面之間傳輸。任何體積效應，例如大氣散射和不透明介質，都不包括在方程中，因為它需要光與穿過的介質相互作用的可能性.
3.4 path tracing
path tracing是用來解渲染方程的。[[games101-4-Ray Tracing]] 一文中有部分描述。文中描述了光線爆炸，以及如何處理的過程。
3.4.1 direct light sampling
[[games101-4-Ray Tracing]] 一文中也介紹了直接對光源進行取樣的實現。
那麼這個時候方程可以寫成：
發射項並沒有完全消除，這是為了處理這樣的情況，即發射表面是第一個被眼睛的路徑擊中的表面，因為這是包括直接可見物體的發射的唯一機會。還有第二個條件是包含發射，即路徑中的前一個取樣來自完美鏡面反射。這要歸功於BRDF中的δ函式，它不可能對來自除完美反射方向以外的任何取樣方向的光做出貢獻。
3.5 surface reflection
光在穿過一個不同介質的表面的時候，會發生折射，和反射。
可以閱讀： 菲涅爾方程（Fresnel Equation）
關鍵公式如下，有：
| Fresnel Equations | |
|---|---|
| unpolarized reflection | |
| snell's law | |
| schlick's approx |
3.6 bidirectional scattering distribution function, BSDF
\(\rho(x,\omega_o,\omega_i)\) ，這個函式表示的意思是光從\(\omega_i\)方向過來，然後經過散射，進入到\(\omega_o\)方向的比例。
通常有三種類型的雙向分佈函式，即雙向反射分佈函式（BRDF）、雙向透射分佈函式（BTDF）和相位函式。BTDF表示折射或透射到表面的光，但通常被實現為具有翻轉表面法線的BRDF，並被縮放以匹配透射的光量。因此，本文只討論BRDF和相位函式。
3.7 bidirectional reflectance distribution function, BRDF
reflectance描述BRDF是對於反射光的。文中用\(\rho_r(x,\omega_o,\omega_i)\)表示。
3.7.1 diffuse reflection
最簡單的漫反射模型是lambertian模型，見下式：
它假設表面是理想的漫反射。任何碰觸到表面的光都會被均勻的散射到各個方向。
3.7.2 perfect specular reflection
最簡單的鏡面反射模型是完全反射。如圖11中的黑色虛線箭頭。
3.7.3 glossy reflection
微表面模型示意圖見下：
詳細內容可以參見： https://zhuanlan.zhihu.com/p/434964126
4. Volume Rendering
基本概念可以參見： 蒙特卡洛體渲染（一）：基本概念
主要由吸收，散射，消光係數，透射
消光係數（吸收和out散射）對光的衰減可以得到radiance的透過率，公式如下：
如果消光係數是常數，那麼，公式15可以簡化為：
4.6 single scattering albedo
這是一個無光譜單位的量，在單位的情況下，它不會導致任何能量因吸收而損失，相反，零的反照率會吸收所有能量
4.7 in scattering
將所有方向進入的光對出射方向的共享積分後如下：
加上自發光項為：
公式裡面的\(\rho_p\)表示的是相函式。
4.9 相函式
相函式可以理解成BRDF針對volume的版本。主要有兩個關鍵的不同點，相函式考慮的是整個單位球，第二點是相函式對球的積分是1. 相位函式有效地定義了特定方向散射的概率分佈。
非常常見的相函式是，Henyey-Greenstein相函式。他通過單個引數，各項異性因子，來控制散射分佈。各項異性因子的範圍是\([-1,1]\)。當g=-1的時候，完全的後向散射，g=1的時候，是完全的前向散射，g=0的時候是各項同性散射。
注意，與BRDF不同，這些相位函式不會改變光的光譜分佈，它們只定義散射方向的概率。
4.10 volume rendering equation
\(x' = x_0 + t' \omega\)。
第一個公式的第一部分表示的是x0處光強，經過衰減後有多少到達x處。
第一個公式的第二部分表示的是每個位置x‘ 內散射的能量對x出的貢獻的積分。
4.13 emission absorption model
這個模型僅考慮發射，和吸收，這個時候，公式24中的內散射項用發射項進行替代，變為：
4.14 single scattering model
一種更復雜的方法是單散射模型，它也部分解決了體積渲染方程。這裡它將公式24中的內散射項用直接光源取樣進行替代：
4.14 volumetric path tracing
這個方法是沿著射線方向進行距離取樣。如果取樣得到的距離。如果該距離小於沿射線最近的曲面相交點的距離，則介質中會發生散射，路徑將從該散射點而不是曲面上的點進行評估。為了簡單起見，該方程是假設參與介質是均勻的且不發光。
因此，路徑跟蹤演算法基本上擴充套件了光在介質中散射的概率。這意味著基本演算法保持不變，但在散射的情況下，將使用相位函式而不是表面模型。具體公式如下：
對於非均勻介質的話，透過率一項會進行更改，\(\sigma_t e^{-\sigma_ts}\)，更改為：\(\sigma_t(x+s\omega) T_r(x, x+s\omega)\)。
5. Monte Carlo Integration
定義的列表：
- X： 隨機變數；
- P(x)：累積分佈函式，CDF。表示隨機取樣的值，小於等於x的概率；
- p(x)：概率密度函式，PDF。隨機取樣某個值的概率。
-
\(\xi\) : 規範一致隨機變數，它在
[0,1]範圍取樣概率相等。
一個函式的期望的公式可以寫為：
一維的情況，使用均勻取樣的Monte Carlo估計fx積分結果，見公式29。
Xi表示在有效區間[a,b]範圍隨機取樣的值。如果 \(f(x) = \int_0^2 (x^2+1) dx\) 。那麼隨著取樣數量的增加，估計誤差逐漸減小。
5.1 improving the Monte Carlo estimator
使用非均勻取樣，需要引入取樣的概率密度函式，如下：
此處需要注意的是p的選擇，對結果的影響比較大。
5.2 the inversion method
為了從任意PDF p（x）中提取樣本Xi，需要執行以下步驟：
- 計算累積分佈函式，CDF；\(P(x) = \int_0^xp(x')dx'\)
- 計算CDF的倒數，\(P^{-1}(x)\)；
- 使用均勻分佈的\(\xi\)，計算得到X，\(X = P^{-1}(\xi)\) 。
可以參見：
(24條訊息) 蒙特卡洛方法（Monte-Carlo Simulation）_Hearthougan的部落格-CSDN部落格_monte-carlo
(24條訊息) 逆取樣(Inverse Sampling)和拒絕取樣(Reject Sampling)原理詳解_anshuai_aw1的部落格-CSDN部落格_逆取樣
示例，對於指數函式可以得到如下結果：
6. implementation
TODO