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【基礎過關係列】2022-2023學年高一數學上學期同步知識點剖析精品講義(人教A版2019）
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必修第一冊同步鞏固，難度2顆星！

基礎知識

正切函式的定義域

根據正切函式的定義，\(\tan α=\dfrac{y}{x}\)(\(α\)的終邊與單位圓交於點\(P(x，y)\)，當交點\(P(x，y)\)在\(y\)軸上時，\(x=0\)，即當\(x=\dfrac{\pi}{2}+kπ\)，\(k∈Z\)，則\(\tan α\)沒意義.
故\(y=\tan⁡ x\)

正切函式的週期性

由誘導公式\(\tan⁡ (x+π)=\tan⁡ x\),\(x∈R\)，且\(x≠\dfrac{\pi}{2}+kπ\),\(k∈Z\)，
可知道，正切函式是周期函式，週期是\(π\).
注 三角函式\(y=\tan⁡ (ωx+φ)\)的最小正週期 \(T=\dfrac{\pi}{|\omega|}\).

正切函式的奇偶性

由誘導公式\(\tan⁡ (-x)=-\tan⁡ x\),\(x∈R\)，且\(x≠\dfrac{\pi}{2}+kπ\),\(k∈Z\)，
可知，正切函式是奇函式.

正切函式的圖象

設\(x∈\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，在直角座標系中畫出角\(x\)的終邊與單位圓的角度\(B(x_0,y_0)\)，過點\(B\)作\(x\)軸的垂線，垂足是\(M\)；過點\(A(1,0)\)作\(x\)軸的垂線與角\(x\)的終邊交於點\(T\)，則 \(\tan x=\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{M B}{O M}=\dfrac{A T}{O A}=A T\).

由此可見，當\(x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)時，線段\(AT\)的長度就是相應角\(x\)的正切值，我們可以利用線段\(AT\)畫出函式\(y=\tan⁡ x\)

正切函式的單調性

觀察正切曲線可知，正切函式在\(\left(-\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2}\right)\)上單調遞增.
由正切函式的週期性可得，正切函式在每一個區間\(\left(-\dfrac{\pi}{2}+kπ，\dfrac{\pi}{2}+kπ\right)(k\in Z)\)上都單調遞增.

正切函式的值域

當\(x\in\left (-\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2}\right)\)時，\(\tan⁡ x\)在\((-∞,+∞)\)內可取到任意實數值， 但沒有最大值、最小值.
因此，正切函式的值域是實數集\(R\).

正切函式的影象與性質彙總

注 表中的k\(k∈Z\)

| 影象| |
| 定義域 | \(\{x│x≠kπ+\dfrac{\pi}{2}\}\) |
| 值域 | \(R\) |
| 最值 | 既無最大值也無最小值 |
| 週期性 | \(π\) |
| 對稱中心 | \(\left (\dfrac{k\pi}{2},0\right)\) |
| 對稱軸 | 無對稱軸 |
| 單調性 | 在\(\left(kπ-\dfrac{\pi}{2} ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)\)上是增函式 |
 

基本方法

【題型1】正切函式的圖象及應用

【典題1】 畫出函式\(y=|\tan x|\)的圖象，並根據圖象判斷其單調區間、奇偶性、週期性．
解析 由 \(y=|\tan x|\)得， \(y=\left\{\begin{array}{l} \tan x, k \pi \leq x<k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in \mathrm{Z}) \\ -\tan x,-\dfrac{\pi}{2}+k \pi<x<k \pi(k \in \mathrm{Z}) \end{array}\right.\)，
其圖象如圖所示．

由圖象可知，函式 \(y=|\tan x|\)是偶函式，單調遞增區間為\(\left[kπ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)(k\in Z)\)，
單調遞減區間為\(\left(-\dfrac{\pi}{2}+kπ,kπ\right](k\in Z)\)，週期為\(π\)．

【鞏固練習】

1.作出函式\(f(x)=\tan\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)\)在一個週期內的簡圖．
 
 

參考答案

1. 解析 令\(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}=0\)，則\(x=\dfrac{2\pi}{3}\)；令\(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\)，則\(x=\dfrac{5\pi}{3}\)．
   令\(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{2}\)，則\(x=-\dfrac{\pi}{3}\)．
   \(\therefore\)函式\(f(x)=\tan\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)\)的圖象與\(x\)軸的一個交點座標是\(\left(\dfrac{2\pi}{3},0\right)\)，在這個交點左、右兩側相鄰的兩條漸近線方程分別是\(x=-\dfrac{\pi}{3}\),\(x=\dfrac{5\pi}{3}\)，從而得函式\(y=f(x)\)在一個週期\(\left(-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right)\)內的簡圖(如圖)．
   
    

【題型2】正切函式的定義域

【典題1】 求下列函式的定義域：
  (1) \(y=\dfrac{1}{1+\tan x}\)；\(\qquad \qquad\) (2) \(y=\lg (\sqrt{3}-\tan x)\)．
解析 (1)要使函式 \(y=\dfrac{1}{1+\tan x}\)有意義，必須且只需 \(\left\{\begin{array}{l} 1+\tan x \neq 0 \\ x \neq k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in \mathrm{Z}) \end{array}\right.\)
所以函式的定義域為\(\{x∣x\in R\)且\(x≠kπ-\dfrac{\pi}{4},x≠kπ+\dfrac{\pi}{2},k\in Z\}\)．
(2)因為\(\sqrt{3} -\tan x>0\)，所以\(\tan x<\sqrt{3}\) ．
又因為\(\tan x=\sqrt{3}\)時，\(x=\dfrac{\pi}{3}+kπ(k\in Z)\)，
根據正切函式圖象，得\(kπ-\dfrac{\pi}{2}<x<kπ+\dfrac{\pi}{3}(k\in Z)\)，
所以函式的定義域是\(\{x∣kπ-\dfrac{\pi}{2}<x<kπ+\dfrac{\pi}{3},k\in Z\}\)．
 

【鞏固練習】

1.函式\(y=\tan \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)的定義域為(　　)
 A．\(\{x∣x≠\dfrac{\pi}{4},x\in R\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．${x∣x≠-\dfrac{\pi}{4},x\in R} $$\qquad \qquad \qquad \qquad\( C．\){x∣x≠kπ+\dfrac{\pi}{4},x\in R,k\in Z}$ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\{x∣x≠kπ+\dfrac{3\pi}{4},x\in R,k\in Z\}\)
 

2.求函式 \(y=\sqrt{\tan x+1}+\lg (1-\tan x)\)的定義域．
 
 

參考答案

1. 答案 \(D\)
   解析 由\(\tan \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=-\tan\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)，
   \(\therefore x-\dfrac{\pi}{4}≠kπ+\dfrac{\pi}{2}\),\(k∈Z\)，從而\(x≠kπ+\dfrac{3\pi}{4}\),\(x\in R\),\(k∈Z\)．

2. 答案 \(\left[kπ-\dfrac{\pi}{4},kπ+\dfrac{\pi}{4}\right)(k\in Z)\)
   解析 由題意得 \(\left\{\begin{array}{l} \tan x+1 \geq 0 \\ 1-\tan x>0 \end{array}\right.\)，即\(－1≤\tan x<1\)．
   在\(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)內，滿足上述不等式的\(x\)的取值範圍是\(\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right)\)，
   又\(y=\tan x\)的週期為\(π\)，
   所以函式的定義域是\(\left[kπ-\dfrac{\pi}{4},kπ+\dfrac{\pi}{4}\right)(k\in Z)\)．
    

【題型3】 正切函式的性質

【典題1】 已知函式\(f(x)=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，則下列關於\(f(x)\)的判斷正確的是(　　)
 A．在區間\(\left(\dfrac{\pi}{6},π\right)\)上單調遞增 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．最小正週期是\(π\)
 C．圖象關於直線\(x=\dfrac{\pi}{6}\)成軸對稱 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．圖象關於點\(\left(\dfrac{\pi}{6},0 \right)\)成中心對稱
解析 \(A\)．\(x\in \left(\dfrac{\pi}{6},π\right)⇒x+\dfrac{\pi}{3}\in \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{4\pi}{3}\right)\)；故單調遞增， \(A\)正確；
\(B\)．函式\(f(x)\)的最小正週期是\(π\)，故\(B\)正確，
\(C\)．正切函式沒有對稱軸，故\(C\)錯誤，
\(D\)．令\(x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{k\pi}{2}⇒x=\dfrac{k\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\)，\(k∈Z\)；
則\(f(x)\)圖象關於點\(\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)\)成中心對稱，故\(D\)正確，
故選：\(ABD\)．
 

【典題2】比較大小：\(\tan\left(-\dfrac{7\pi}{4}\right)\) \(\underline{\quad \quad}\) \(\tan \left(-\dfrac{9}{5} \pi\right)\)．
解析 \(\because \tan \left(-\dfrac{7}{4} \pi\right)=-\tan \left(2 \pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan \dfrac{\pi}{4}\)，
\(\tan \left(-\dfrac{9}{5} \pi\right)=-\tan \left(2 \pi-\dfrac{\pi}{5}\right)=\tan \dfrac{\pi}{5},\)，
又\(0<\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{2}\)，\(y=\tan x\)在\(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)內單調遞增，\(\therefore \tan \dfrac{\pi}{5}<\tan \dfrac{\pi}{4}\)，
\(\therefore \tan \left(-\dfrac{7}{4} \pi\right)>\tan \left(-\dfrac{9}{5} \pi\right)\)．
 

【典題3】 若函式\(y=\tan⁡ \left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)\)在\(\left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right]\)上單調遞減，且在\(\left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right]\)上的最大值為\(\sqrt{3}\) ，則\(ω\)的值為(　　)
 A. \(-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(-1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(1\)
解析 \(∵y=\tan⁡ \left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)\)在\(\left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right]\)上單調遞減，
\(\therefore T=\dfrac{\pi}{|\omega|} \geq \dfrac{2 \pi}{3}\)，\(\therefore |ω|≤\dfrac{3}{2}\)；
又\(y=\tan⁡ \left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)\)在\(\left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right]\)上的最大值為\(\sqrt{3}\) ，
\(\therefore\)當\(x=-\dfrac{\pi}{3}\)時，\(y_{\max} =\sqrt{3}\)，即\(\tan⁡ \left(-\dfrac{\pi}{3} ω+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\)，
\(\therefore -\dfrac{\pi}{3} ω+\dfrac{\pi}{6}=kπ+\dfrac{\pi}{3}\)，
\(\therefore-\dfrac{\pi}{3} \omega+\dfrac{\pi}{6}=k \pi+\dfrac{\pi}{3}\)，
\(\therefore-\dfrac{1}{3} \omega=\dfrac{1}{6}+k(k \in Z)\)，又\(|ω|≤\dfrac{3}{2}\)，
\(\therefore ω=-\dfrac{1}{2}\)．
故選：\(A\)．
 

【鞏固練習】

1.函式\(y=\tan \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)的圖象(　　)
 A．關於原點對稱 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．關於點\(\left (-\dfrac{\pi}{2},1\right)\)對稱 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．關於直線\(x=-\dfrac{\pi}{8}\)對稱 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．關於點\(\left(\dfrac{\pi}{8},0\right)\)對稱
 

2.已知函式\(f(x)=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)，則下列說法錯誤的是(　　)
 A. 函式\(f(x)\)的週期為\(\dfrac{\pi}{2}\)
 B. 函式\(f(x)\)的值域為\(R\)
 C. 點\(\left(\dfrac{\pi}{6}，0\right)\)是函式\(f(x)\)的圖象一個對稱中心
 D. \(f\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<f\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\)
 

3. 方程\(\tan(2x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}\)在區間\(\left[0,2π\right)\)上的解的個數是\(\underline{\quad \quad}\) .
    

4.已知函式\(f(x)=\tan(ωx+φ)(ω≠0,|φ|<\dfrac{\pi}{2})\)，點\(\left(\dfrac{\pi}{3},0\right)\)和\(\left(\dfrac{5\pi}{6},0\right)\)是其相鄰的兩個對稱中心，且在區間\(\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right)\)內單調遞減，則\(φ=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 
 

5.設函式\(f(x)=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)．
  (1)求\(f(x)\)的定義域、週期和單調區間；
  (2)求不等式\(-1≤f(x)≤\sqrt{3}\)的解集；
  (3)求\(f(x)\),\(x\in \left[0，π\right]\)的值域．
 
 

參考答案

1. 答案 \(D\)
   解析 函式\(y=\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)中，令\(2x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{k\pi}{2}\)，\(k∈Z\)；
   解得\(x=\dfrac{k\pi}{4}-\dfrac{\pi}{8}\)，\(k∈Z\)；
   令\(k=1\)，得\(x=\dfrac{\pi}{8}\)，
   所以\(y=\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)的圖象關於原點\(\left(\dfrac{\pi}{8} ,0\right)\)對稱，\(D\)正確．
   故選：\(D\)．

2. 答案 \(D\)
   解析 \(∵f(x)=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)，
   \(\therefore\) 函式\(f(x)\)的週期\(T=\dfrac{\pi}{2}\)，故\(A\)正確；
   由正切函式的圖象和性質可知函式\(f(x)\)的值域為\(R\)，故\(B\)正確；
   由\(2x-\dfrac{\pi}{3}=kπ\)，\(k∈Z\)可解得：\(x=\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}\)，\(k∈Z\)，
   則解得當\(k=0\)時，點\(\left(\dfrac{\pi}{6}，0\right)\)是函式\(f(x)\)的圖象一個對稱中心，故\(C\)正確；
   由 \(f\left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)=\tan \left(2 \times \dfrac{2 \pi}{5}-\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan \dfrac{7 \pi}{15}>0\); \(f\left(\dfrac{3 \pi}{5}\right)=\tan \left(2 \times \dfrac{3 \pi}{5}-\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan \dfrac{13 \pi}{15}<0\)，
   從而\(f\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>f\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)\)，故\(D\)不正確．
   故選：\(D\)．

3. 答案 \(4\)
   解析 方程\(\tan(2x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}\) ，
   \(\therefore 2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+kπ\)，\(k∈Z\)，\(x=\dfrac{k\pi}{2}\)，\(k∈Z\)；
   \(k=0\)，\(k=1\)，\(k=2\)，\(k=3\)，
   求得方程在區間\([0,2π)\)上的解為\(0\)，\(\dfrac{\pi}{2}\)，\(π\)，\(\dfrac{3\pi}{2}\)共\(4\)個．

4. 答案 \(\dfrac{\pi}{3}\)
   解析 根據題意可得\(\left(\dfrac{\pi}{3},0\right)\)和\(\left(\dfrac{5\pi}{6},0\right)\)是其相鄰的兩個對稱中心得 \(\dfrac{T}{2}=\dfrac{5 \pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\)，\(\therefore T=π\)；
   又因為在區間\(\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right)\)內單調遞減，\(\therefore ω=-1\)；
   則\(f(x)=\tan(-x+φ)\)；
   當\(x=\dfrac{\pi}{3}\)時，\(f(\dfrac{\pi}{3})=0\)，又\(∵|φ|<\dfrac{\pi}{2}⇒φ=\dfrac{\pi}{3}\)．

5. 答案 (1)\(\left(\dfrac{k \pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}\right)\)，\(k∈Z\)；(2) \(\left[\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{24}，\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right]\)，\(k∈Z\)；(3) \(R\).
   解析 (1)\(\because\) 函式\(f(x)=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)，它的週期為\(\dfrac{\pi}{2}\)．
   根據函式的解析 式可得\(2x-\dfrac{\pi}{3}≠kπ+\dfrac{\pi}{2}\)，\(k∈Z\).求得 \(x \neq \dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}\)，
   故函式的定義域為\(\{x∣x≠\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}，k\in z\}\)．
   由\(kπ-\dfrac{\pi}{2}<2x-\dfrac{\pi}{3}<kπ+\dfrac{\pi}{2}\)，\(k∈Z\)求得 \(\dfrac{k \pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}<x<\dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}\)，
   故函式的增區間為 \(\left(\dfrac{k \pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}\right)\)，\(k∈Z\).
   (2)由不等式\(-1≤f(x)≤\sqrt{3}\)，可得\(kπ-\dfrac{\pi}{4}≤2x-\dfrac{\pi}{3}≤kπ+\dfrac{\pi}{3}\)，
   求得\(\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{24}≤x≤\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\)，
   故不等式的解集為\(\left[\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{24}，\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right]\)，\(k∈Z\).
   (3)\(\because x\in \left[0，π\right]\)，\(\therefore 2x-\dfrac{\pi}{3}\in \left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{5\pi}{3}\right]\)，
   故\(\tan \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\in R\).
    

分層練習

【A組---基礎題】

1.函式\(f(x)=\tan\left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)\)的最小正週期為\(2π\)，則\(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\) (　　)
 A．\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)　\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\)　\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)　C．\(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)　　D．\(0\)
 

2.現有下列四個命題：
 ①函式\(y=\tan x\)在定義域內是增函式；
 ②函式\(y=\tan(2x+1)\)的最小正週期是\(π\)；
 ③函式\(y=\tan x\)的圖象關於點\((π,0)\)成中心對稱；
 ④函式\(y=\tan x\)的圖象關於點\(\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)\)成中心對稱．
其中正確命題的個數是(　　)
 A．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)
 

3.函式\(f(x)=\tan \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)的單調區間為(　　)
 A．\(\left(kπ-\dfrac{\pi}{2},kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)\),\(k∈Z\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\left(kπ,(k+1)π\right)\),\(k∈Z\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(\left(kπ-\dfrac{3\pi}{4},kπ+\dfrac{\pi}{4}\right)\),\(k∈Z\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\left(kπ-\dfrac{\pi}{4},kπ+\dfrac{3\pi}{4}\right)\),\(k∈Z\)
 

4.下列關於函式\(y=\tan⁡ \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)的說法正確的是(　　)
 A. 在區間\(\left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{5\pi}{6}\right)\)上單調遞增
 B. 最小正週期是\(π\)
 C. 圖象關於點\(\left(\dfrac{\pi}{4}，0\right)\)成中心對稱
 D. 圖象關於直線\(x=\dfrac{\pi}{6}\)成軸對稱
 

5.關於函式\(f(x)=|\tan x|\)的性質，下列敘述不正確的是(　　)
 A．\(f(x)\)的最小正週期為\(\dfrac{\pi}{2}\)
 B．\(f(x)\)是偶函式
 C．\(f(x)\)的圖象關於直線\(x=\dfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)對稱
 D．\(f(x)\)在每一個區間\(\left(kπ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)(k\in Z)\)內單調遞增
 

6.(多選)下列關於函式\(y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)的說法正確的是(　　)
 A. 在區間\(\left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{7\pi}{24}\right)\)上單調遞增
 B. 最小正週期是\(π\)
 C. 圖象關於\(\left(\dfrac{\pi}{3}，0\right)\)成中心對稱
 D. 圖象關於 \(\left(\dfrac{\pi}{12}, 0\right)\)成中心對稱
 

7.函式\(y=\tan \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\)，\(x\in \left(0,\dfrac{\pi}{6}\right]\)的值域是　 　．
 

8.已知函式 \(f(x)=\tan x+\dfrac{1}{\tan x}\)，若\(f(a)=5\)，則\(f(-a)=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
 

9.若\(f(n)=\tan⁡ \dfrac{n\pi}{3}\)，\((n\in N^* )\)，則\(f(1)+f(2)+⋯+f(100)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
 

10.在\((0,2π)\)內，使\(\tan x>1\)成立的x的取值範圍是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

11.已知函式\(y=3\tan ωx+1\)在\(\left(-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{4}\right)\)內是減函式，則\(ω\)的取值範圍是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

12.已知函式\(f(x)=3\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)．
  (1)求\(f(x)\)的定義域和值域．(2)討論\(f(x)\)的週期和單調區間．(3)求\(f(x)\)的對稱中心．
 
 

13.設函式\(f(x)=\tan⁡ (ωx+φ)(ω>0，0<φ<\dfrac{\pi}{2})\)，已知函式\(y=f(x)\)的圖象與\(x\)軸相鄰兩個交點的距離為\(\dfrac{\pi}{2}\)，且圖象關於點 \(M\left(-\dfrac{\pi}{8}, 0\right)\)對稱．
  (1)求\(f(x)\)的解析 式；
  (2)求\(f(x)\)的單調區間；
  (3)求不等式\(-1≤f(x)≤\sqrt{3}\)的解集．
 
 

參考答案

1. 答案 \(B\)
   解析 由已知 \(\dfrac{\pi}{\omega}=2 \pi\)，\(\therefore ω=\dfrac{1}{2}\)，\(\therefore f(x)=\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)，
   \(\therefore f(\dfrac{\pi}{6})=tan(\dfrac{1}{2}×\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6})=\tan⁡ \dfrac{\pi}{4}=1\)．

2. 答案 \(C\)
   解析 ①函式\(y=\tan x\)在定義域內不是單調函式；故①錯誤，
   ②函式\(y=\tan(2x+1)\)的最小正週期是\(\dfrac{\pi}{2}\)；故②錯誤
   ③函式\(y=\tan x\)的圖象關於點\(\left(\dfrac{k\pi}{2},0\right)\)成中心對稱，
   當\(k=2\)時，對稱中心為\((π,0)\)；故③正確，
   ④函式\(y=\tan x\)的圖象關於點\(\left(\dfrac{k\pi}{2},0\right)\)成中心對稱，
   當\(k=-1\)時，關於\(\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)\)成中心對稱．故④正確，
   故正確是③④，
   故選：\(C\)．

3. 答案 \(C\)
   解析 由\(-\dfrac{\pi}{2}+kπ<x+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{2}+kπ\),\(k∈Z\)，
   得\(-\dfrac{3\pi}{4}+kπ<x<\dfrac{\pi}{4}+kπ\),\(k∈Z\)．故選\(C\)．

4. 答案 \(B\)
   解析 對於\(A\)，由\(kπ-\dfrac{\pi}{2}<x+\dfrac{\pi}{3}<kπ+\dfrac{\pi}{2}\)，\(k∈Z\)，
   即\(kπ-\dfrac{5\pi}{6}<x<kπ+\dfrac{\pi}{6}\)，\(k∈Z\)，
   當\(k=0\)時，函式的單調遞增區間為\(\left(-\dfrac{5\pi}{6}，\dfrac{\pi}{6}\right)\)，
   當\(k=1\)時，函式的單調遞增區間為\(\left(\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{7\pi}{6}\right)\)，
   故\(f(x)\)在區間\(\left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{5\pi}{6}\right)\)上單調遞增錯誤，\(A\)錯誤；
   對於\(B\)，函式\(f(x)\)的最小正週期為\(T=π\)，命題正確；
   對於\(C\)，由\(x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{k\pi}{2}\)， 得\(x=-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}\)，\(k∈Z\)，
   即函式\(f(x)\)的對稱中心為\(\left(-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}，0\right)\)，
   當\(k=1\)時，對稱中心為\(\left(\dfrac{\pi}{6}，0\right)\)，\(f(x)\)圖象不關於點\(\left(\dfrac{\pi}{4}，0\right)\)成中心對稱，\(C\)錯誤；
   對於\(D\)，正切函式是奇函式，圖象沒有對稱軸，\(D\)錯誤．
   故選：\(B\)．

5. 答案 \(A\)
   解析 對於函式\(f(x)=|\tan x|\)的性質，根據該函式的圖象知，其最小正週期為\(π\)，\(A\)錯誤；
   又\(f(-x)=|\tan(-x)|=|\tan x|=f(x)\)，所以\(f(x)\)是定義域上的偶函式，\(B\)正確；
   根據函式\(f(x)\)的圖象知，\(f(x)\)的圖象關於直線\(x=\dfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)對稱，\(C\)正確；
   根據\(f(x)\)的圖象知，\(f(x)\)在每一個區間\(\left(kπ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)(k\in Z)\)內單調遞增，\(D\)正確．
   故選：\(A\)．

6. 答案 \(ACD\)
   解析 當\(x\in \left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{7\pi}{24}\right)\)時，\(2x-\dfrac{\pi}{6}\in \left(-\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{5\pi}{12}\right)\)，
   所以\(y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)在區間\(\left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{7\pi}{24}\right)\)上單調遞增，故\(A\)正確；
   函式\(y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)的最小正週期是\(\dfrac{\pi}{2}\)，故\(B\)錯誤；
   當\(x=\dfrac{\pi}{3}\)時，\(2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\)，所以函式\(y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)的圖象關於\(\left(\dfrac{\pi}{3}，0\right)\)成中心對稱，故\(C\)正確；
   當\(x=\dfrac{\pi}{12}\)時\(2x-\dfrac{\pi}{6}=0\)，所以函式\(y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)的圖象關於\(\left(\dfrac{\pi}{12}，0\right)\)成中心對稱，故\(D\)正確．
   故選：\(ACD\)．

7. 答案 \(\left(1,\sqrt{3} \right]\)
   解析 由\(x\in \left(0,\dfrac{\pi}{6}\right]\)，\(\therefore \dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\in \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}\right]\)，結合正切函式的性質可得：\(1<y≤\sqrt{3}\)．
   故答案為：\(\left(1,\sqrt{3} \right]\)．

8. 答案 \(-5\)
   解析 \(f(x)\)的定義域為\(\left(kπ-\dfrac{\pi}{2},kπ\right)∪\left(kπ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)(k\in Z)\)．
   可知\(f(x)\)的定義域關於原點對稱．
   又 \(f(-x)=\tan (-x)+\dfrac{1}{\tan (-x)}=-\left(\tan x+\dfrac{1}{\tan x}\right)=-f(x)\)．
   \(\therefore f(x)\)是奇函式．\(\therefore f(-a)=-f(a)=-5\)．

9. 答案 \(\sqrt{3}\)
   解析 \(\because f(n)=\tan⁡ \dfrac{n\pi}{3}\)，\((n\in N^* )\)，
   根據正切函式的性質可得其週期 \(T=\dfrac{\pi}{\dfrac{\pi}{3}}=3\)，
   \(\therefore f(1)=\sqrt{3}\)，\(f(2)=-\sqrt{3}\) ，\(f(3)=0\)．
   可得：\(f(1)=f(2)+f(3)=0\)．
   \(\therefore f(1)+f(2)+⋯+f(100)=33\left[f(1)+f(2)+f(3)\right]+f(1)=f(1)=\sqrt{3}\)．

10. 答案 \(\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)∪\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)\)
    解析 由\(\tan x>1\)，可得 \(kπ+\dfrac{\pi}{2}>x>kπ+\dfrac{\pi}{4}\)，\(k∈Z\)．
    再根據\(x\in (0,2π)\)，求得\(x\in \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)∪\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)\)．

11. 答案 \(\left[-\dfrac{3}{2}，0\right)\)
    解析 \(\because\) 函式\(y=3\tan⁡ ωx+1\)在\(\left(-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{4}\right)\)內是減函式，
    \(\therefore ω<0\)且函式\(y=3\tan⁡ ωx+1\)在\(\left(-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right)\)內也是減函式，
    \(\therefore T=\left|\dfrac{\pi}{\omega}\right|≥\dfrac{\pi}{3}-(-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{2\pi}{3}\)，
    \(\therefore |ω|≤\dfrac{3}{2}\)，\(\therefore -\dfrac{3}{2}≤ω≤\dfrac{3}{2}\)，
    又\(ω<0\)，\(\therefore -\dfrac{3}{2}≤ω<0\)．
    故答案為：\(\left[-\dfrac{3}{2}，0\right)\)．

12. 答案 (1) 定義域為\(\{x∣x≠2kπ+\dfrac{5\pi}{3}，k\in Z\}\)，值域為\(R\)；
    (2) \(2π\)，\(\left(-\dfrac{\pi}{3}+2kπ，\dfrac{5\pi}{3}+2kπ\right)\)，\(k∈Z\)；
    (3)\(\left (\dfrac{2\pi}{3}+2kπ，0\right)\)，\(k∈Z\).
    解析 (1)\(\because\) 函式\(f(x)=3\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)，
    \(\therefore \dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}≠kπ+\dfrac{\pi}{2}\)，\(k∈Z\)，即\(x≠2kπ+\dfrac{5\pi}{3}\)，\(k∈Z\)，
    \(\therefore f(x)\)的定義域為\(\{x∣x≠2kπ+\dfrac{5\pi}{3}，k\in Z\}\)，值域為\(R\)；
    (2) \(f(x)\)的最小正週期是 \(\dfrac{\pi}{\dfrac{1}{2}}=2 \pi\)，
    又令\(-\dfrac{\pi}{2}+kπ<\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}+kπ\)，\(k∈Z\)，
    \(\therefore -\dfrac{\pi}{3}+2kπ<x<\dfrac{5\pi}{3}+2kπ\)，\(k∈Z\)
    \(\therefore f(x)\)的單調增區間為\(\left(-\dfrac{\pi}{3}+2kπ，\dfrac{5\pi}{3}+2kπ\right)\)，\(k∈Z\)；
    (3)令\(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}=kπ\)，\(k∈Z\)，解得\(x=\dfrac{2\pi}{3}+2kπ\)，\(k∈Z\)，
    此時\(y=f(x)=0\)，
    \(\therefore\)函式\(f(x)\)的對稱中心為\(\left(\dfrac{2\pi}{3}+2kπ，0\right)\)，\(k∈Z\).

13. 答案 (1) \(f(x)=\tan⁡ \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)；
    (2) 單調增區間為\(\left(-\dfrac{3 \pi}{8}+\dfrac{k \pi}{2}, \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k \pi}{2}\right)\)，\(k∈Z\)．無單調減區間；
    (3) \(\left\{x \mid-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k \pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{24}+\dfrac{k \pi}{2}, \quad k \in Z\right\}\).
    解析 (1)\(\because\)函式\(y=f(x)\)的圖象與\(x\)軸相鄰兩交點的距離為\(\dfrac{\pi}{2}\)，
    即\(T=\dfrac{\pi}{2}\)，\(\therefore ω=2\)，
    \(\therefore f(x)=\tan(2x+φ)\)，
    \(\because\) 圖象關於點 \(M\left(-\dfrac{\pi}{8}, 0\right)\)對稱．\(\therefore -2×\dfrac{\pi}{8}+φ=\dfrac{k\pi}{2}\)，\(k∈Z\)，
    \(\because 0<φ<\dfrac{\pi}{2}\)，\(\therefore φ=\dfrac{\pi}{4}\)，
    則\(f(x)=\tan⁡ (2x+\dfrac{\pi}{4})\)．
    (2)令\(-\dfrac{\pi}{2}+kπ<2x+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{2}+kπ\)，\(k∈Z\)，
    得\(-\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}\)，\(k∈Z\)，
    \(\therefore\)函式的單調增區間為 \(\left(-\dfrac{3 \pi}{8}+\dfrac{k \pi}{2}, \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k \pi}{2}\right)\)，\(k∈Z\)．無單調減區間．
    (3)由(1)知，\(f(x)=\tan⁡ \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)．
    由\(-1≤\tan⁡ (2x+\dfrac{\pi}{4})≤\sqrt{3}\)，得\(-\dfrac{\pi}{4}+kπ≤2x+\dfrac{\pi}{4}≤\dfrac{\pi}{3}+kπ\)，\(k∈Z\)，
    即\(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}≤x≤\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{k\pi}{2}\)，\(k∈Z\)，
    \(\therefore\)不等式\(-1≤f(x)≤\sqrt{3}\)的解集為\(\{x∣-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}≤x≤\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{k\pi}{2}，k\in Z\}\).
     

【B組---提高題】

1.(多選)已知函式\(f(x)=\left |\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{6}\right) \right|\)，則下列說法正確的是(　　)
 A. \(f(x)\)的週期是\(2π\)；
 B. \(f(x)\)的值域是\(\{y|y\in R，\)且\(y≠0\}\)；
 C. 直線\(x=\dfrac{5\pi}{3}\)是函式\(f(x)\)圖象的一條對稱軸；
 D. \(f(x)\)的單調遞減區間是\(\left(2kπ-\dfrac{2\pi}{3}，2kπ+\dfrac{\pi}{3}\right]\)，\(k∈Z\)；
 
2.下列不等式中，正確的是(　　)
 A. \(\tan \dfrac{4 \pi}{7}>\tan \dfrac{3 \pi}{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\tan \dfrac{2 \pi}{5}<\tan \dfrac{3 \pi}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(\tan \left(-\dfrac{13 \pi}{7}\right)>\tan \left(-\dfrac{15 \pi}{8}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\tan \left(-\dfrac{13 \pi}{4}\right)<\tan \left(-\dfrac{12 \pi}{5}\right)\)
 

參考答案

1. 答案 \(AD\)
   解析 \(A\)．\(f(x)\)的週期和\(y=\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)週期相同，即\(T=\dfrac{\pi}{\dfrac{1}{2}}=2 \pi\)，故\(A\)正確，
   \(B\)．\(\because y=\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)的值域為\(R\)，
   \(\therefore f(x)≥0\)，即函式\(f(x)\)的值域為\(\left[0，+∞\right)\)，故\(B\)錯誤，
   \(C\)．由絕對值的意義知當\(\dfrac{1}{2}-x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{k\pi}{2}\)，即對稱軸為\(x=kπ+\dfrac{\pi}{3}\)，\(k∈Z\)，
   則直線\(x=\dfrac{5\pi}{3}\)不是函式\(f(x)\)圖象的一條對稱軸，故\(C\)錯誤，
   \(D\)．由\(kπ-\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{6}≤kπ\)，\(k∈Z\) 得\(2kπ-\dfrac{2\pi}{3}<x≤2kπ+\dfrac{\pi}{3}\)，\(k∈Z\)，
   即函式\(f(x)\)的單調遞減區間是\(\left(2kπ-\dfrac{2\pi}{3}，2kπ+\dfrac{\pi}{3}\right]\)，\(k∈Z\)，故\(D\)正確，
   故選：\(AD\)．
   

2. 答案 \(C\)
   解析 根據正切函式的單調性與週期性，得
   對於\(A\)， \(\tan \dfrac{4 \pi}{7}<0<\tan \dfrac{3 \pi}{7}\)，\(A\)錯誤；
   對於\(B\)， \(\tan \dfrac{2 \pi}{5}>0>\tan \dfrac{3 \pi}{5}\)，\(B\)錯誤；
   對於\(C\)， \(\tan \left(-\dfrac{13 \pi}{7}\right)=\tan \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{7}\right)=\tan \dfrac{\pi}{7}\)，
   \(\tan \left(-\dfrac{15 \pi}{8}\right)=\tan \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{8}\right)=\tan \dfrac{\pi}{8}\)，
   \(\dfrac{\pi}{2}>\dfrac{\pi}{7}>\dfrac{\pi}{8}>0\)， \(\therefore \tan \dfrac{\pi}{7}>\tan \dfrac{\pi}{8}\)，\(C\)正確；
   對於\(D\)， \(\tan \left(-\dfrac{13 \pi}{4}\right)=\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\tan \dfrac{\pi}{4}\)，
   且 \(\tan \left(-\dfrac{12 \pi}{5}\right)=\tan \left(-\dfrac{2 \pi}{5}\right)=-\tan \dfrac{2 \pi}{5}\)，\(D\)錯誤．
   故選：\(C\)．