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【基礎過關係列】2022-2023學年高一數學上學期同步知識點剖析精品講義(人教A版2019）
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基礎知識

周期函式

一般地，對於函式\(f(x)\)，如果存在一個非零常數\(T\)，使得定義域內的每一個\(x\)值，都滿足\(f(x+T)=f(x)\)，那麼函式\(f(x)\)就叫做周期函式，\(T\)叫做該函式的週期.
解釋
(1)從解析式\(f(x+T)=f(x)\)來看：任一自變數\(x\)對應函式值\(y\)

與\(x\)增加\(T\)後對應函式值相等；
(2)從圖象看：整體函式圖象是由一部分圖象像“分身術”一樣向兩邊延申，而那一部分圖象的水平長度就是其正週期！

周期函式的週期不止一個，可正可負，比如上面第\(2\)圖對應的函式\(f(x)\)的週期有\(-2\),\(-4\),…及其\(2\),\(4\),…等.
(3) 如果在周期函式\(f(x)\)的所有周期中存在一個最小的正數，那麼這個最小的正數叫做\(f(x)\)的最小正週期.

【例】 若\(f(x-4)=f(x)\)，那\(f(x)\)的一個正週期是多少？
解 \(∵f(x-4)=f(x)\)，\(∴f(x)=f(x+4)\)，所以\(f(x)\)

的一個正週期是\(4\).
 

正弦函式，餘弦函式的影象與性質

注 表中的\(k∈Z\)

	\(y=\sin ⁡x\)	\(y=\cos ⁡x\)
影象
定義域	\(R\)	\(R\)
值域	\([-1 ,1]\)	\([-1 ,1]\)
週期性	\(2π\)	\(2π\)
對稱中心	\((kπ ,0)\)	\(\left(kπ+\dfrac{\pi}{2},0\right)\)
對稱軸	\(x=kπ+\dfrac{\pi}{2}\)	\(x=kπ\)

解釋
(1) 週期
根據週期的定義，由於\(\sin ⁡(x+2kπ)=\sin ⁡x\) ，\(\cos ⁡(x+2kπ)=\cos ⁡x\)

可知\(2π\)，\(4π\)，\(-2π\)，\(-4π\)….都是正弦函式、餘弦函式的週期，其中\(2π\)是最小正週期.
三角函式\(f(x)=A \sin ⁡(ωx+φ)\)或\(f(x)=A \cos ⁡(ωx+φ)\)的最小正週期 \(T=\dfrac{2 \pi}{|\omega|}\).
(2) 奇偶性
由\(\sin ⁡(-x)=-\sin ⁡x\)，\(\cos ⁡(-x)=\cos ⁡x\)，或者看正弦曲線關於原點對稱，餘弦曲線關於\(y\)軸對稱，均可知正弦函式是奇函式，餘弦函式是偶函式.
(3) 如何理解三角函式的對稱軸、對稱中心？
主要是結合圖象及其週期性，比如如何理解正弦函式\(f(x)=\sin ⁡x\)對稱中心\((kπ ,0)\)?
① 在一個週期\([0,2π)\)內，找到一個對稱中心\((0,0)\)；
② 接著每隔半個週期\(π\)個單位就有一個對稱中心，則\((0+kπ,0)\)即\((kπ ,0)\)是其對稱中心.
類似可得到正弦函式的對稱軸方程，餘弦函式的對稱軸方程與對稱中心.

【例】判斷函式\(f(x)=\cos ⁡|x|\)的奇偶性.
解析 函式\(f(x)=\cos ⁡|x|\)的定義域是\(R\)，且\(\cos ⁡|-x|=\cos ⁡|x|\)，故\(f(x)=\cos ⁡|x|\)是偶函式.
 

基本方法

【題型1】週期性

【典題1】 求下列函式的週期：
  (1)\(y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)(x∈R)\)； \(\qquad \qquad\)
(2)\(y=\left|\sin x\right|(x∈R)\)．
解析 (1)方法1 令\(z=2x+\dfrac{\pi}{3}\)，
\(∵x∈R\)，\(∴z∈R\)，函式\(y=\sin z\)的最小正週期是\(2π\)，就是說變數\(z\)只要且至少要增加到\(z+2π\)，函式\(y=\sin z(z∈R)\)的值才能重複取得，而\(z+2π=2x+\dfrac{\pi}{3}+2π=2(x+π)+\dfrac{\pi}{3}\)，
\(∴\)自變數\(x\)只要且至少要增加到\(x+π\)，函式值才能重複取得，
從而函式\(y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)(x∈R)\)的週期是\(π\)．
方法2 \(y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)(x∈R)\)中，\(ω=2\)， \(\therefore T=\dfrac{2 \pi}{|2|}=\pi\)．
(2)作出\(y=|\sin x|\)的圖象如圖：

由圖象易知\(y=|\sin x|\)的週期為\(π\)．
點撥 求函數週期的方法：
1.定義法\(f(x+T)=f(x)\)；
2.三角函式\(f(x)=A \sin ⁡(ωx+φ)\)或\(f(x)=A \cos ⁡(ωx+φ)\)的最小正週期 \(T=\dfrac{2 \pi}{|\omega|}\)；
3.數形結合，注意函式圖象的各種變換.
 

【典題2】 函式\(f(x)=\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{3}\right)\)在區間\(\left[0,2π\right]\)上至少存在\(5\)個不同的零點，則正整數\(ω\)的最小值為(　　)
  A．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D．\(5\)
解析 函式\(f(x)=\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{3}\right)\)在區間\([0,2π]\)上至少存在\(5\)個不同的零點，
則 \(2 T+\dfrac{3 T}{4}<2 \pi\)，整理得： \(\dfrac{11}{4} \cdot \dfrac{2 \pi}{\omega}<2 \pi\)，解得： \(\omega>\dfrac{11}{4}\)，
故選：\(B\)．
 

【鞏固練習】

1.下列函式中，週期為\(π\)的函式為(　　)
  A．\(y=\sin \left(\dfrac{1}{4} x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)　 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B．\(y=\sin \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{\pi}{3}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)

C．\(y=\cos \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D．\(y=\cos \left(4x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
 

2.下列函式中，週期為\(\dfrac{\pi}{2}\)的是(　　)
  A． \(y=\sin \dfrac{x}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B．\(y=\cos 2x\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(y=|\sin 2x|\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D．\(y=\sin |x|\)
 

3.若函式\(y=2\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{4}\right)(ω>0)\)的週期為4π，則\(ω=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
 

4.設函式\(f(x)=2\cos \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)，若對任意\(x∈R\)都有\(f(x_1)≤f(x)≤f(x_2)\)成立，則\(|x_1-x_2 |\)的最小值為\(\underline{\quad \quad}\)．
 

參考答案

1. 答案 \(C\)
   解析 利用週期公式\(T=\dfrac{2\pi}{ω}\)，可知\(C\)中函數週期\(T=\dfrac{2\pi}{2}=π\)．故選\(C\)．

2. 答案 \(C\)
   解析 對於選項\(A\)：函式 \(y=\sin \dfrac{x}{2}\)的最小正週期為\(4π\)，故正確．
   對於選項\(B\)：函式的最小正週期為\(π\)．故錯誤．
   對於選項\(C\)：函式的最小正週期為\(\dfrac{\pi}{2}\)．故錯誤．
   對於選項\(D\)：函式不為周期函式，故錯誤．
   故選：\(C\)．

3. 答案 \(\dfrac{1}{2}\)
   解析 由\(T=\dfrac{2\pi}{ω}\)得\(\dfrac{2\pi}{ω}=4π\)，\(∴ω=\dfrac{1}{2}\)．

4. 答案 \(2π\)
   解析 函式 \(f(x)=2\cos \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)，若對於任意的\(x∈R\)，都有\(f(x_1)≤f(x)≤f(x_2)\)，
   \(∴f(x_1)\)是函式的最小值，\(f(x_2)\)是函式的最大值，
   \(|x_1-x_2 |\)的最小值就是函式的半週期 \(\dfrac{T}{2}=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2 \pi}{\dfrac{1}{2}}=2 \pi\).
    

【題型2】 奇偶性

【典題1】 判斷下列函式的奇偶性：
  (1)\(f(x)=\sin x\cdot\cos x\)； \(\qquad \qquad\)
(2) \(f(x)=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\)； \(\qquad \qquad\)
(3) \(f(x)=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{\cos x-1}\)．
解析 (1)函式的定義域為\(R\)，關於原點對稱．
\(∵f(-x)=\sin (-x)\cos (-x)=-\sin x\cos x=-f(x)\)，
\(∴f(x)=\sin x\cos x\)為奇函式．
(2)函式應滿足\(1-\sin x≠0\)，
\(∴\)函式的定義域為\(\{x∣x≠2kπ+\dfrac{\pi}{2},k∈Z\}\)，顯然定義域不關於原點對稱，
\(∴f(x)=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\)為非奇非偶函式．
(3)由\(\left\{\begin{array}{l} 1-\cos x \geq 0 \\ \cos x-1 \geq 0 \end{array}\right.\)得\(\cos x=1\)，
\(∴\)函式的定義域為\(\{x∣x=2kπ,k∈Z\}\)，定義域關於原點對稱．
當\(\cos x=1\)時，\(f(-x)=0\)，\(f(x)=±f(-x)\)．
\(∴f(x)=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{\cos x-1}\)既是奇函式又是偶函式．
點撥 判斷函式奇偶性先確定定義域是否關於原點對稱，再利用定義法、圖象法或性質法判斷.性質法：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.
 

【典題2】 函式\(y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)的圖象(　　)
  A．關於點\(\left(\dfrac{\pi}{6} ,0\right)\)對稱   B．關於點\(\left(\dfrac{\pi}{3} ,0\right)\)對稱
  C．關於直線\(x=\dfrac{\pi}{6}\)對稱   D．關於直線\(x=\dfrac{\pi}{3}\)對稱
解析 方法1 對於函式 \(y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，
(求出函式的所有對稱軸和對稱中心再判斷)
令\(2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+kπ\)，則\(x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\) , 則函式的對稱軸是\(x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2} (k∈N^*)\)，
若\(\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2} =\dfrac{\pi}{6}\)，解得\(k= \dfrac{1}{6}∉N^*\)；若\(\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2} =\dfrac{\pi}{3}\)，解得\(k=\dfrac{1}{2}∉N^*\)，故排除\(C\) ,\(D\)；
令\(2x+\dfrac{\pi}{3}=kπ\)，則\(x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\) , 則函式的對稱中心是\(\left(-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2},0\right) (k∈N^*)\)，
若\(-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}\)，解得\(k= \dfrac{2}{3}∉N^*\)，可排除\(A\)；
若\(-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}=\dfrac{\pi}{3}\)，解得\(k=1∈N^*\)，故關於點\(\left(\dfrac{\pi}{3} ,0\right)\)對稱.
故選：\(B\)．
方法2 對於函式 \(y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，
當\(x=\dfrac{\pi}{6}\)時，\(2x+\dfrac{\pi}{3}=2\dfrac{\pi}{3}\)，而\(\left(\dfrac{2\pi}{3} ,0\right)\)不是正弦函式\(y=\sin x\)的對稱中心，故\(A\)錯誤；
當\(x=\dfrac{\pi}{3}\)時，\(2x+\dfrac{\pi}{3}=π\)，而\((π,0)\)是正弦函式\(y=\sin x\)的對稱中心，故\(B\)正確；
當\(x=\dfrac{\pi}{6}\)時，\(2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\)，而\(x=\dfrac{2\pi}{3}\)不是正弦函式\(y=\sin x\)的對稱軸，故\(C\)錯誤；
當\(x=\dfrac{\pi}{3}\)時，\(2x+\dfrac{\pi}{3}=π\)，而\(x=π\)不是正弦函式\(y=\sin x\)的對稱軸，故\(D\)錯誤；
故選：\(B\)．
點撥 本題兩種方法，
方法1 是求出三角函式的全部對稱軸或對稱中心(此時把\(ωx+φ\)看成整體)，再判斷；
方法2 是把問題轉化正弦函式\(y=\sin x\)的性質判斷；
對於三角函式\(f(x)=A\sin (ωx+φ)+B\)
① 若\(x=x_0\)是其對稱軸，則\(ωx_0+φ\)是正弦函式\(y=\sin x\)的對稱軸；
② 若\((x_0 ,B)\)是其對稱中心，則\((ωx_0+φ ,B)\)滿足函式\(y=A\sin x+B\)的對稱中心.
對於三角函式\(f(x)=A\cos (ωx+φ)+B\)類似.
 

【典題3】 已知函式 \(f(x)=\cos ⁡\left(ωx+\dfrac{\pi}{3}\right)(ω>0)\)的一條對稱軸為\(x=\dfrac{\pi}{3}\)，一個對稱中心為點\(\left(\dfrac{\pi}{12},0\right)\)，則\(ω\)最小值\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由於函式的對稱軸方程為\(x=\dfrac{\pi}{3}\)，
所以\(\dfrac{\pi}{3} ω+\dfrac{\pi}{3}=k_1 π\),\((k∈Z)\)，整理得\(ω=3k_1-1(k∈Z)\)；
函式的一個對稱中心為點 \(\left(\dfrac{\pi}{12},0\right)\)，
所以\(\dfrac{\pi}{12}ω+\dfrac{\pi}{3}=k_2 π+\dfrac{\pi}{2}\)，整理得\(ω=12k_2+2\)，\((k∈Z)\)，
由於\(ω>0\)，
所以當\(k_1=1\)或\(k_2=0\)時，\(ω\)取到最小值為\(2\)．
故答案為：\(2\)．
 

【鞏固練習】

1.函式\(f(x)=\sin (-x)\)的奇偶性是(　　)
  A ．奇函式 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B．偶函式 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．既是奇函式，又是偶函式 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D．非奇非偶函式
 

2.在平面直角座標系\(xOy\)中，函式\(y=2\sin ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)的圖象( )
  A. 關於直線\(x=\dfrac{\pi}{6}\)對稱 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B. 關於點\(⁡\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)\)對稱 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C. 關於直線\(x=-\dfrac{\pi}{6}\)對稱 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D. 關於點\(⁡\left(-\dfrac{\pi}{6},0\right)\)對稱
 

3.已知函式\(f(x)=\cos \left(\omega x+\dfrac{7}{8} \pi\right)(\omega>0)\)的圖象關於點\(⁡\left(\dfrac{\pi}{4},0\right)\)對稱，則\(f(x)\)的最小正週期\(T\)的最大值為(　　)
  A. \(\dfrac{2 \pi}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B. \(\dfrac{3 \pi}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C. \(\dfrac{4 \pi}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D. \(\dfrac{6\pi}{5}\)
 

4.已知點\((2,0)\)為函式\(f(x)=2 \cos \left(\dfrac{\pi}{3} x+\varphi\right)\left(|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}\right)\)圖象的一個對稱中心，則實數\(φ=\)(　　)
  A．\(-\dfrac{\pi}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B．\(\dfrac{\pi}{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(\dfrac{\pi}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D．\(-\dfrac{\pi}{6}\)
 

5.已知直線\(x=x_1\),\(x=x_2\)分別是曲線 \(f(x)=2 \sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)與\(g(x)=-\cos x\)的對稱軸，則\(f(x_1-x_2)=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 

6.已知直線\(x=\dfrac{\pi}{3}\)和\(x=\dfrac{5\pi}{6}\)是曲線\(y=\sin ⁡(ωx+φ)(ω>0)\)的相鄰的兩條對稱軸，則滿足條件的一個\(φ\)的值是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

7.若函式\(f(x)=4\cos ⁡(3x+φ)\left(|φ|<\dfrac{\pi}{2}\right)\)的圖象關於直線\(x=\dfrac{11 \pi}{12}\)對稱，且當\(x_1,x_2∈\left(-\dfrac{7 \pi}{12},-\dfrac{\pi}{12}\right)\)，\(x_1≠x_2\)時，\(f(x_1 )=f(x_2 )\)，則\(f(x_1+x_2 )=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
 

參考答案

1. 答案 \(A\)
   解析 \(∵f(x)=\sin (-x)=-\sin x\)，
   \(∴f(-x)=-\sin (-x)=\sin x=-f(x)\)．
   \(∴f(x)\)是奇函式．

2. 答案 \(B\)
   解析 利用排除法和代入法求解，當\(x=\dfrac{\pi}{6}\)時，\(y=2\sin ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=0\)，故選：\(B\)．

3. 答案 \(C\)
   解析 函式\(f(x)=\cos \left(\omega x+\dfrac{7}{8} \pi\right)(\omega>0)\)的圖象關於點\(⁡\left(\dfrac{\pi}{4},0\right)\)對稱，
   故\(\dfrac{\pi}{4} \omega+\dfrac{7 \pi}{8}=k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in Z)\)，整理得： \(\omega=4 k-\dfrac{3}{2}(k \in Z)\)，
   當\(k=1\)時，\(ω=\dfrac{5}{2}\)，
   所以週期的最大值為 \(\dfrac{2 \pi}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{4 \pi}{5}\)，故選\(C\).

4. 答案 \(D\)
   解析 根據題意，得\(2 \cos \left(\dfrac{\pi}{3} \times 2+\varphi\right)=0\)， \(\therefore \dfrac{2 \pi}{3}+\varphi=k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in Z)\)，
   \(\thereforeφ=kπ-\dfrac{\pi}{6}(k∈Z)\)，
   又\(\because|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}\)，\(\therefore\)取\(k=0\)，可得\(φ=-\dfrac{\pi}{6}\)．
   故選：\(D\)．

5. 答案 \(±2\)
   解析 由\(x+\dfrac{\pi}{3}=kπ+\dfrac{\pi}{2}\)得\(x=kπ+\dfrac{\pi}{6}\)，即\(f(x)\)的對稱軸為\(x=kπ+\dfrac{\pi}{6}\)，\(k∈Z\)，
   \(y=-cox\)的對稱軸為\(x=k_1 π\)，\(k_1∈Z\)，
   \(\because\)直線\(x=x_1\)，\(x=x_2\)分別是曲線\(f(x)\)與\(g(x)\)的對稱軸，
   \(\therefore x_1=kπ+\dfrac{\pi}{6}\)，\(k∈Z\)，\(x_2=k_1 π\)，\(k_1∈Z\)，
   則\(x_1-x_2=kπ+\dfrac{\pi}{6}-k_1 π=(k-k_1)π+\dfrac{\pi}{6}\)，\(k∈Z\)，\(k_1∈Z\)，
   則\(f\left(x_1 x_2\right)=2 \sin \left[\left(k-k_1\right) \pi+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right]=2 \sin \left[\left(k-k_1\right) \pi+\dfrac{\pi}{2}\right]\)\(=-2 \cos \left[\left(k-k_1\right) \pi\right]=\pm 2\).

6. 答案 \(-\dfrac{\pi}{6}\)
   解析 直線\(x=\dfrac{\pi}{3}\)和\(x=\dfrac{5\pi}{6}\)是曲線\(y=\sin ⁡(ωx+φ)(ω>0)\)的相鄰的兩條對稱軸，
   故當 \(\dfrac{T}{2}=\dfrac{5 \pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\),
   故\(T=π\)，解得\(ω=2\)，故\(f(x)=\sin (2x+φ)\)，
   當 \(x=\dfrac{\pi}{3}\)時， \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin \left(\dfrac{2 \pi}{3}+\varphi\right)=\pm 1\),
   故\(\dfrac{2\pi}{3}+φ=kπ+\dfrac{\pi}{2}\)，整理得\(φ=kπ-\dfrac{\pi}{6}(k∈Z)\)，
   當\(k=0\)時，\(φ=-\dfrac{\pi}{6}\).

7. 答案 \(2 \sqrt{2}\)
   解析 \(\because\)函式 \(f(x)=4\cos ⁡(3x+φ)\left(|φ|<\dfrac{\pi}{2}\right)\)的圖象關於直線 \(x=\dfrac{11 \pi}{12}\)對稱
   \(\therefore 3 \times \dfrac{11 \pi}{12}+\varphi=k \pi\),\(k∈Z\)，
   \(\thereforeφ=\dfrac{\pi}{4}\)，\(f(x)=4 \cos \left(3 x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)，
   且當 \(x\in\left(-\dfrac{7 \pi}{12},-\dfrac{\pi}{12}\right)\)時，\(3x+\dfrac{\pi}{4}\in \left(-\dfrac{3\pi}{2},0\right)\)，
   當\(x_1,x_2∈\left(-\dfrac{7 \pi}{12},-\dfrac{\pi}{12}\right)\)，\(x_1≠x_2\)時，\(f(x_1 )=f(x_2 )\)，
   則 \(f\left(x_1+x_2\right)=4 \cos \left[3\left(-\dfrac{5 \pi}{6}\right)+\dfrac{\pi}{4}\right]=4 \cos \left(-\dfrac{9 \pi}{4}\right)\)\(=4 \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=4 \cos \dfrac{\pi}{4}=2 \sqrt{2}\).

分層練習

【A組---基礎題】

1.函式 \(f(x)=\sqrt{3} \sin \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)\)，\(x∈R\)的最小正週期為(　　)
 A．\(\dfrac{\pi}{2}\)　　 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
　　B．\(π\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
　　　C．\(2π\)　\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
　 　D．\(4π\)
 

2.下列函式中週期 為\(\dfrac{\pi}{2}\)，且為偶函式的是(　　)
  A．\(y=\sin 4x\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B．\(y=\cos \dfrac{1}{4} x\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(y=\sin \left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D． \(y=\cos \left(\dfrac{1}{4} x-\dfrac{\pi}{2}\right)\)
 

3.若函式\(f(x)=\sin \dfrac{x+\varphi}{3}(\varphi \in[0,2 \pi])\)是偶函式，則\(φ=\)(　　)
  A．\(\dfrac{\pi}{2}\)　　　\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B．\(\dfrac{2\pi}{3}\)　　\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(\dfrac{3\pi}{2}\)　　\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
　 D．\(\dfrac{5\pi}{3}\)
 

4.下列函式中，關於直線\(x=-\dfrac{\pi}{6}\)對稱的是(　　)
  A．\(y=\sin (x+\dfrac{\pi}{3})\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B．\(y=\sin (2x+\dfrac{\pi}{3})\)
\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(y=\cos (x+\dfrac{\pi}{3})\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D．\(y=\cos (2x+\dfrac{\pi}{3})\)
 

5.已知\(\left(\dfrac{\pi}{6},0 \right)\)為\(f(x)=\sin ⁡(-2x+φ)\left(|φ|<\dfrac{\pi}{2} \right)\)的一個對稱中心，則\(f(x)\)的對稱軸可能為(　　)
  A. \(x=\dfrac{\pi}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B. \(x=2\dfrac{\pi}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C. \(x=-\dfrac{\pi}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D.\(x=-\dfrac{\pi}{12}\)
 

6.(多選)已知函式\(f(x)=\sin x\cos 2x\),下列結論錯誤的是(　　)
  A．\(y=f(x)\)的圖象關於\(x=\dfrac{\pi}{2}\)對稱 \(\qquad \qquad\)
B. \(y=f(x)\)的圖象關於\((\dfrac{\pi}{2},0)\)對稱 \(\qquad \qquad\)

C.\(y=f(x)\)的圖象關於\(y\)軸對稱 \(\qquad \qquad\)
D. \(y=f(x)\)不是周期函式
 

7.函式\(f(x)=\left|\sin (x+\dfrac{\pi}{3})\right|\)的最小正週期是\(\underline{\quad \quad}\).
 

8.函式\(f(x)=2\cos (2x+θ)\)的圖象關於原點對稱，則\(θ\)的最大負值為\(\underline{\quad \quad}\) ．
 

9.已知曲線 \(y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)關於\((-1,0)\)對稱，則\(|ω|\)的最小值為 ．
 

10.已知\(f(n)=\sin \dfrac{⁡n\pi}{4}\),\(n∈Z\)，則\(f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f(2019)=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
 

11.已知函式 \(f(x)=\cos (2 x+\varphi)\left(|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}\right)\)的圖象關於直線 \(x=\dfrac{11 \pi}{10}\)對稱，則\(φ=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
 

12.已知函式 \(f(x)=\cos (3 x+\varphi)\left(-\dfrac{\pi}{2}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}\right)\)圖象關於直線 \(x=\dfrac{5 \pi}{18}\)對稱，則函式\(f(x)\)在區間\([0,π]\)上零點的個數為\(\underline{\quad \quad}\) .
 

參考答案

1. 答案 \(D\)
   解析 易知 \(T=\dfrac{2 \pi}{\dfrac{1}{2}}=4 \pi\)，故選\(D\)．

2. 答案 \(C\)
   解析 顯然週期為\(\dfrac{\pi}{2}\)的有\(A\)和\(C\)，又因為 \(y=\sin \left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)是偶函式，故選\(C\)．

3. 答案 \(C\)
   解析 \(\because f(x)=\sin \dfrac{x+\varphi}{3}\)是偶函式，
   \(\therefore \sin \dfrac{\varphi}{3}=\pm 1\), \(\therefore \dfrac{\varphi}{3}=k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in Z)\)．
   \(\thereforeφ=3kπ+\dfrac{3\pi}{2}(k∈Z)\)．
   又\(\because φ∈[0,2π]\)，\(\therefore\)當\(k=0\)時，\(φ=\dfrac{3\pi}{2}\)．故選\(C\)．

4. 答案 \(D\)
   解析 將\(x=-\dfrac{\pi}{6}\)代入\(y=\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)\)，得函式值為\(1\)，
   故\(x=-\dfrac{\pi}{6}\)是\(y=\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)的一條對稱軸，
   故選：\(D\)．

5. 答案 \(D\)
   解析 因為\(\left(\dfrac{\pi}{6},0 \right)\)為\(f(x)=\sin \left(-2x+φ\right) \left(|φ|<\dfrac{\pi}{2}\right)\)的一個對稱中心，
   所以\(f \left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0\)，即\(\sin ⁡\left(-\dfrac{\pi}{3}+φ\right)=0\)，\(\therefore-\dfrac{\pi}{3}+φ=kπ\),\(k∈Z\)，
   \(\thereforeφ=\dfrac{\pi}{3}+kπ\),\(k∈Z\)，\(\therefore f(x)=\sin \left(-2 x+\dfrac{\pi}{3}+k \pi\right)\),\(k∈Z\)
   由\(-2x+\dfrac{\pi}{3}+kπ=\dfrac{\pi}{2}+nπ\),\(k,n∈Z\),
   得 \(x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k-n}{2} \pi\),\(k,n∈Z\)，
   當\(k=n\)時，\(x=-\dfrac{\pi}{12}\).

6. 答案 \(BCD\)
   解析 對於函式\(f(x)=\sin x\cos 2x\),
   \(\because f(π-x)=\sin (π-x)\cos 2(π-x)=\sin x\cos 2x=f(x)\)，
   \(\therefore f(x)\)關於直線\(x=\dfrac{\pi}{2}\)對稱，故\(A\)正確，\(B\)不正確．
   根據\(f(-x)=-\sin x\cos 2x=-f(x)\)，
   故函式為奇函式，它的圖象關於\(x\)軸對稱，故排除\(C\)．
   \(\because f(x+2π)=\sin (2π+x)\cos 2(2π+x)=\sin x\cos 2x=f(x)\)，
   \(\therefore2π\)是函式\(y=f(x)\)的週期，故\(D\)錯誤．
   故選：\(BCD\)．

7. 答案 \(π\)
   解析 對於 \(f(x)=\left|\sin (x+\dfrac{\pi}{3})\right|\)，\(T=2π\)，
   函式 \(f(x)=\left|\sin (x+\dfrac{\pi}{3})\right|\)是函式\(y=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)的圖象\(x\)軸上方的圖象不動，將\(x\)軸下方的圖象向上對摺得到的，故 \(T^{\prime}=\dfrac{T}{2}=\pi\)．

8. 答案 \(-\dfrac{\pi}{2}\)
   解析 \(\because\)函式\(f(x)=2\cos (2x+θ)\)的圖象關於原點對稱，
   \(\thereforeθ=kπ+\dfrac{\pi}{2}\),\(k∈Z\)，
   令\(k=-1\)，可得\(θ\)的最大負值為\(-\dfrac{\pi}{2}\)，
   故答案為：\(-\dfrac{\pi}{2}\)．

9. 答案 \(\dfrac{\pi}{6}\)
   解析 因為曲線 \(y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)關於\((-1,0)\)對稱，所以\(\sin ⁡(-ω+\dfrac{\pi}{6})=0\)，
   可得\(-ω+\dfrac{\pi}{6}=kπ\),\(k∈Z\)，解得\(ω=\dfrac{\pi}{6}-kπ\),\(k∈Z\)，則\(|ω|\)的最小值為\(\dfrac{\pi}{6}\).

10. 答案 \(1+\sqrt{2}\)
    解析 \(\because f(n)=\sin \dfrac{⁡n\pi}{4}\),\(n∈Z\)，\(\therefore\)函式\(f(x)\)的最小正週期為 \(\dfrac{2 \pi}{\dfrac{\pi}{4}}=8\)，
    \(\because f(1)=\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(f(2)=\sin \dfrac{\pi}{2}=1\), \(f(3)=\sin \dfrac{3 \pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\),\(f(4)=\sin ⁡π=0\), \(f(5)=\sin \dfrac{5 \pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(f(6)=\sin \dfrac{3 \pi}{2}=-1\), \(f(7)=\sin \dfrac{7 \pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\),\(f(8)=\sin ⁡2π=0\)，
    \(\therefore f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(8)=0\)，
    \(\therefore f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2019)=252×0+f(1)+f(2)+f(3)\)
    \(=0+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}\).

11. 答案 \(-\dfrac{\pi}{5}\)
    解析 \(\because\)函式 \(f(x)=\cos (2 x+\varphi)\left(|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}\right)\)的圖象關於直線 \(x=\dfrac{11 \pi}{10}\)對稱，
    \(\therefore 2 \times \dfrac{11 \pi}{10}+\varphi=k \pi(k \in Z)\),
    即\(φ=kπ-\dfrac{11 \pi}{5}(k∈Z)\)，又\(|φ|<\dfrac{\pi}{2}\)，
    \(\therefore \varphi=-\dfrac{\pi}{5}\).

12. 答案 三
    解析 \(\because\)函式\(f(x)=\cos (3 x+\varphi)\left(-\dfrac{\pi}{2}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}\right)\)圖象關於直線\(x=\dfrac{5 \pi}{18}\)對稱
    \(\therefore 3 \times \dfrac{5 \pi}{18}+\varphi=k \pi\)，(\(y=\cos x\)的對稱軸是\(x=kπ\))
    \(\therefore φ=-\dfrac{5\pi}{6}+kπ\)，\(k∈Z\)，
    由\(-\dfrac{\pi}{2}<φ<\dfrac{\pi}{2}\)知，\(k=1\)時，\(φ=\dfrac{\pi}{6}\)，
    故\(f(x)=\cos (3x+\dfrac{\pi}{6})\)，
    令\(f(x)=0\)得\(3x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+kπ\),\(k∈Z\)，\(\therefore x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k\pi}{3}\),\(k∈Z\)．
    因為\(x∈[0,π]\)，所以\(k=0,1,2\)時， \(\varphi=\dfrac{\pi}{9}\), \(\dfrac{4 \pi}{9}\), \(\dfrac{7 \pi}{9}\)滿足條件，
    故零點有三個．

【B組---提高題】

1.\(f(x)=|\sin x|+|\cos x|\)的最小正週期是( )
  A.\(\dfrac{\pi}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B.\(π\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C.\(2π\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D.\(3π\)
 

2.已知函式\(f(x)=\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)(ω>0)\)的圖象在\((0,π)\)上有且僅有兩條對稱軸，則\(ω\)的取值範圍為(　　)
  A． \(\left[1, \dfrac{3}{2}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B． \(\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{3}{2}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C． \(\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{7}{3}\right]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D． \(\left[1, \dfrac{7}{3}\right]\)
 

3.已知\(f(x)=2\sin (ωx+φ)\left(ω>0,0<φ<\dfrac{\pi}{2}\right)\)的圖象關於直線\(x=\dfrac{\pi}{6}\)對稱，若存在\(x_1\),\(x_2∈R\)，使得對於任意\(x\)都有\(f(x_1)≤f(x)≤f(x_2)\)，且\(|x_1-x_2 |\)的最小值為\(\dfrac{\pi}{2}\)，則\(φ\)等於(　　)
  A．\(\dfrac{\pi}{12}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
B．\(\dfrac{\pi}{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(\dfrac{\pi}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
D．\(\dfrac{\pi}{3}\)
 

4.(多選)已知函式\(f(x)=2\sin ⁡\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)(x∈R)\)，則下列命題正確的有(　　)
  A. \(y=f(x)\)的圖象關於直\(x=\dfrac{2\pi}{3}\)對稱
  B. \(y=f(x)\)的圖象關於點\((\dfrac{\pi}{12},0)\)中心對稱
  C. \(y=f(x)\)的表示式可改寫為\(y=2\cos ⁡\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)
  D.若 \(f(x_1 )=f(x_2 )=0\)，則\(x_1-x_2=k\dfrac{\pi}{2}(k∈Z)\)
 
 

參考答案

1. 答案 \(A\)
   解析 \(f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\left|\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right|+\left|\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right|=|\cos x|+|\sin x|=f(x)\),
   故\(\dfrac{\pi}{2}\)是\(y=f(x)\)的週期，由選項可知選\(A\).

2. 答案 \(C\)
   解析 令\(ωx+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\),\(\dfrac{3\pi}{2}\),\(\dfrac{5\pi}{2}\)，解得\(x=\dfrac{\pi}{3ω}\),\(x=\dfrac{4\pi}{3ω}\),\(x=\dfrac{7\pi}{3ω}\)，
   分別為\(y=f(x)\)的\(y\)軸右側由左往右最近的三條對稱軸．
   要滿足圖象在\((0,π)\)上有且僅有兩條對稱軸，
   只需 \(\left\{\begin{array}{l} 0<\dfrac{\pi}{3 \omega}<\pi \\ 0<\dfrac{4 \pi}{3 \omega}<\pi \\ \dfrac{7 \pi}{3 \omega} \geq \pi \end{array}\right.\)，解得 \(\dfrac{4}{3}<\omega \leq \dfrac{7}{3}\)．
   故選：\(C\)．

3. 答案 \(B\)
   解析 對於函式\(f(x)=2\sin (ωx+φ)\)，
   \(\because\) 對任意\(x∈R\)，都有\(f(x_1)≤f(x)≤f(x_2)\)，且\(|x_1-x_2 |\)的最小值為\(\dfrac{\pi}{2}\)．
   \(\therefore \dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi}{2}\)，則\(T=π\)，
   \(\therefore \omega=\dfrac{2 \pi}{T}=\dfrac{2 \pi}{\pi}=2\)，可得\(f(x)=2\sin (2x+φ)\)，
   又\(\because f(x)=2\sin (ωx+φ)\)的圖象關於直線\(x=\dfrac{\pi}{6}\)對稱，
   \(\therefore 2×\dfrac{\pi}{6}+φ=2kπ+\dfrac{\pi}{2}\)，\(k∈Z\)，可得\(φ=2kπ+\dfrac{\pi}{6}\)，\(k∈Z\)，
   \(\because 0<φ<\dfrac{\pi}{2}\)，\(\therefore φ=\dfrac{\pi}{6}\)，
   故選：\(B\)．

4. 答案 \(BD\)
   解析 函式\(f(x)=2\sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{6}\right)(x\in R)\)，
   對於\(A\)：當\(x=\dfrac{2\pi}{3}\)時，\(f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=2\sin ⁡\left(\dfrac{8\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\right)≠2\)，故\(A\)錯誤；
   對於\(B\)：當\(x=\dfrac{\pi}{12}\)時，\(f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=2\sin ⁡0=0\)，故\(B\)正確；
   對於\(C\)：由於函式 \(f(x)=2 \sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{6}\right)=2 \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-2 x+\dfrac{\pi}{6}\right)\) \(=2 \cos \left(2 x-\dfrac{2 \pi}{3}\right)=-2 \cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，故\(C\)錯誤；
   對於\(D\)：由於\(f(x_1 )=f(x_2 )=0\)，所以\(2\sin ⁡\left(2x_1-\dfrac{\pi}{6}\right)=0\)，
   整理得\(2x_1-\dfrac{\pi}{6}=k_1 π\)，故\(x_1=\dfrac{k_1 π}{2}+\dfrac{\pi}{12} (k_1∈Z)\)，同理 \(x_2=\dfrac{k_2 \pi}{2}+\dfrac{\pi}{12}\left(k_2 \in Z\right)\)，
   故\(x_1-x_2=\dfrac{(k_1-k_2 )\pi}{2} (k_1,k_2∈Z)\)， 故 \(x_1-x_2=\dfrac{k\pi}{2}(k∈Z)\)，故\(D\)正確;
   故選\(BD\).
    

【C組---拓展題】

1.已知\(ω>0\)，函式\(f(x)=\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{4}\right)\)的圖象在區間\(\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)\)上有且僅有一條對稱軸，則實數\(ω\)的取值範圍是\(\underline{\quad \quad}\).
 

2.關於函式 \(f(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos x}\) ，有如下四個命題：
 ①\(f(x)\)的影象關於\(y\)軸對稱；②\(f(x)\)的影象關於原點對稱；
 ③\(f(x)\)的影象關於直線\(x=\dfrac{\pi}{2}\)對稱；④\(f(x)\)的影象關於點\(\left(\dfrac{\pi}{2},0 \right)\)對稱．
其中所有真命題的序號是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

參考答案

1. 答案 \(\left(\dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{2}\right) \cup\left(\dfrac{7}{4}, \dfrac{11}{4}\right] \cup\left[\dfrac{7}{2}, \dfrac{15}{4}\right]\)
   解析 函式數\(f(x)=\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{4} \right)\)的圖象在區間\(\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)\)上有且僅有一條對稱軸，
   根據正弦函式的對稱軸性質，
   可得 \(\omega \cdot \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}<k \pi+\dfrac{\pi}{2}<\omega \pi-\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow \dfrac{4 k+3}{4}<\omega<\dfrac{4 k+3}{2}\),\(k∈z\)，①
   又因為：\(π-\dfrac{\pi}{2}≤T=\dfrac{2\pi}{ω}⇒ω≤4\)；②
   \(\because ω>0\)；③
   因為有且僅有一條對稱軸；
   所以還需滿足：\(ωπ-\dfrac{\pi}{4}≤(k+1)π+\dfrac{\pi}{2}\) 且\((k－1)π-\dfrac{\pi}{2}≤ \dfrac{ω\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\)；
   即 \(\dfrac{4 k-1}{2} \leq \omega \leq \dfrac{4 k+7}{4}\) ④
   聯立①②③④解得： \(\omega \in\left(\dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{2}\right) \cup\left(\dfrac{7}{4}, \dfrac{11}{4}\right] \cup\left[\dfrac{7}{2}, \dfrac{15}{4}\right]\)．
   故答案為： \(\left(\dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{2}\right) \cup\left(\dfrac{7}{4}, \dfrac{11}{4}\right] \cup\left[\dfrac{7}{2}, \dfrac{15}{4}\right]\).

2. 答案 ①④
   解析 函式 \(f(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos x}\) ，
   對於①，函式\(f(-x)=f(x)\)，故函式為偶函式，
   故\(f(x)\)的影象關於\(y\)軸對稱，故①正確；
   對於②，由於函式\(f(x)\)的影象關於\(y\)軸對稱，
   故函式\(f(x)\)的圖象不關於原點對稱，故②錯誤；
   對於③，函式 \(f(\pi-x)=\cos (\pi-x)+\dfrac{1}{\cos (\pi-x)}=-\cos x-\dfrac{1}{\cos x} \neq f(x)\)，
   故函式\(f(x)\)的影象不關於\(x=\dfrac{\pi}{2}\)對稱，故③錯誤；
   對於④， \(f(\pi-x)=\cos (\pi-x)+\dfrac{1}{\cos (\pi-x)}=-\cos x-\dfrac{1}{\cos x}=-f(x)\)，
   故函式\(f(x)\)影象關於點\(\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)\)對稱，故④正確．
   故答案為：①④．